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Enunciado

Física - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 8.5 - Ex. 119

A suspensão dianteira de um automóvel é apresentada. Cada uma das molas helicoidais possui uma rigidez de 46.8 kN/m. Se a massa da extremidade dianteira do chassi e da parte equivalente da carroceria, presa à extremidade dianteira, é de 800 kg, determine a frequência natural f n da oscilação vertical do chassi e da carroceria na ausência de amortecedores. (Sugestão: Para relacionar a deflexão da mola ao deslocamento do chassi e da carroceria, considere o chassi fixo e assuma que o solo e as rodas se deslocam verticalmente.)

Passo 1

Para esse problema vamos utilizar as relações de conservação de energia como também uma relação para a deflexão vertical do sistema

Passo 2

Vamos começar considerando y o como a deflexão vertical do sistema. Temos que para a mola, a deflexão dela pode ser dada em termos da deflexão do sistema. Essa deflexão é dada por

300   m m 400   m m ⋅ y o = 2 3 ⋅ y o

Temos também que a variação da energia é dada por Δ E = Δ T + Δ U = 0 pois a energia será conservada. Temos que a única energia potencial que atua no sistema será a elástica e duas vezes maior por se tratar de duas molas, e a única cinética atuante será a translacional. Logo, temos que

Δ U = 2 ⋅ 1 2 ⋅ k ⋅ Δ y 2 = 2 ⋅ 1 2 ⋅ 46.8 k N m ⋅ 2 3 ⋅ y o 2 = 20.8 ⋅ y o 2   k J = 20800 ⋅ y o 2   J

Δ T = T m a x = 1 2 ⋅ m ⋅ y ˙ m á x 2 = 1 2 ⋅ 800   k g ⋅ y o 2 ⋅ ω n 2 = 400 ⋅ y o 2 ⋅ ω n 2   J

Igualando as duas equações agora, teremos que

400 ⋅ y o 2 ⋅ ω n 2   J = 20800 ⋅ y o 2   J

ω n = 20800 400   = 7.21   r a d / s

f n = ω n 2 ⋅ π = 7.21   r a d / s 2 ⋅ π = 1,148   H z

Resposta

f n = 1,148   H z

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