Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 6.Problemas - Ex. 113a
O tanque de ar comprimido AB tem um diâmetro externo de e uma espessura uniforme e . Sabendo-se que a pressão dentro do vaso é de , determinar a máxima tensão normal e a máxima tensão de cisalhamento, no plano, no:
- Ponto K
Passo 1
Fala galera, essa questão aqui é uma boa questão para treinarmos tudo que aprendemos até agora, ela vai exigir de nós todos os conhecimentos que tivemos até agora para cálculo de tensões, então, antes de sairmos calculando tensões, vamos entender o que estamos calculando, porque se soubermos os tipos de esforços que agem no ponto pedido, vamos saber quais fórmulas teremos que usar, com isso, vamos esquecer a pressão e vamos imaginar isso como sendo uma barra circular com o esforço da carga P agindo nela, e vamos levar até a região com o ponto K esses esforços, com isso, vamos lá.
- Levar a carga P junto com seus esforços para o centro da seção no ponto pedido, assim obtemos que:
Passo 2
Você lembra como era o nosso elemento infinitesimal quando o mesmo estava sujeito a um conjunto de tensões?
Porém, sempre que tratamos vasos de pressão, ou esferas de pressão, calculávamos um estado de tensões sem tensão de cisalhamento, ou seja, só tensões principais, que é exatamente isso aqui que calculamos:
Agora pensa no seguinte, olhando o nosso elemento aqui em baixo, podemos ver o seguinte:
Vamos começar analisando o tipo de tensão normal que age no ponto K, se você fizer a sua mão rotacionando entorno das duas setas laranjas, com o dedão na direção das setas, você vai ver que no ponto K temos uma tração, ou seja, nossa tensão é positiva, e como já sabemos o sinal, podemos usar a nossa fórmula sem sinal, já que já sabemos que nossa tensão vai ser positiva, assim, vamos ter que:
Em que a I é dada por:
E essa tensão normal por ser uma tração, vai somar a nossa tensão 2, sendo assim, teremos que:
E agora só temos mais dois esforços a serem avaliada que é a força vertical, que vai gerar um cortante na nossa seção, e esse cortante gerará no nosso elemento uma tensão cisalhante dada pela seguinte equação:
Porém, como o nosso ponto K está na parte superior da nossa seção, teremos que a tensão cisalhante será zero devido a força vertical, assim, só precisamos nos preocupar com o torsor.
Para o torsor, precisamos lembrar da seguinte equação:
Em que temos que:
E assim o nosso elemento será dado por:
E agora só falta definir essas duas tensões onde as tensões normais são calculadas da seguinte maneira.
- Sabemos que a nossa tubulação é cilíndrica e não esférica, nesse caso, usaríamos as seguintes equações:
- Sabemos que o nosso diâmetro dado, é o diâmetro externo, ou seja, precisamos descontar a espessura, sendo assim temos que:
- E sabemos que é a espessura
- é a pressão que age na nossa estrutura
Até aqui tudo certo, certo? Mas ai entra uma coisa bem legal, lembra que o enunciado quer saber as TENSÕES máximas cisalhante e normal, e agora que temos um elemento infinitesimal, como vamos fazer para determinar as tensões máximas? Só lembrar das nossas fórmulas dadas por:
Sabemos que:
Agora sim temos toda a matéria prima para resolver o nosso problema, vamos nessa??
Passo 3
Com tudo em mãos, vamos definir todas as tensões que agem no nosso elemento, e depois que tivermos o elemento em mãos, ai sim definimos as máximas tensões:
Sabemos pelo enunciado que:
Calculando o raio interno, temos que:
Calculando a tensão, teremos que:
Em que a K é dada por:
Pelo enunciado temos que:
Sabemos que o esforço de torção é dado por:
Temos que o raio externo é dado por:
E sabemos que o momento polar de inércia é dado por:
Agora precisamos dos elementos infinitesimais, com isso, teremos que:
Passo 4
E agora que temos o elemento infinitesimal, precisamos apenas das tensões principais, e essas tensões principais são dadas pela seguinte equação.
E assim já temos a tensão máxima cisalhante agindo no nosso elemento infinitesimal.
As tensões principais normais são dadas por: