Enunciado

O tanque de ar comprimido AB tem um diâmetro externo de 462 m m e uma espessura uniforme e 6 m m . Sabendo-se que a pressão dentro do vaso é de 130   k P a , determinar a máxima tensão normal e a máxima tensão de cisalhamento, no plano, no:

  1. Ponto L

Passo 1

Fala galera, essa questão aqui é uma boa questão para treinarmos tudo que aprendemos até agora, ela vai exigir de nós todos os conhecimentos que tivemos até agora para cálculo de tensões, então, antes de sairmos calculando tensões, vamos entender o que estamos calculando, porque se soubermos os tipos de esforços que agem no ponto pedido, vamos saber quais fórmulas teremos que usar, com isso, vamos esquecer a pressão e vamos imaginar isso como sendo uma barra circular com o esforço da carga P agindo nela, e vamos levar até a região com o ponto K esses esforços, com isso, vamos lá.

  • Levar a carga P junto com seus esforços para o centro da seção no ponto pedido, assim obtemos que:

Passo 2

Você lembra como era o nosso elemento infinitesimal quando o mesmo estava sujeito a um conjunto de tensões?

Porém, sempre que tratamos vasos de pressão, ou esferas de pressão, calculávamos um estado de tensões sem tensão de cisalhamento, ou seja, só tensões principais, que é exatamente isso aqui que calculamos:

Agora pensa no seguinte, olhando o nosso elemento aqui em baixo, podemos ver o seguinte:

Temos um momento fletor agindo na nossa seção:

Como ele está exatamente sobre a linha neutra, ele não vai afetar em nada a nossa seção para o ponto L, porém, se fosse pedido qualquer outro ponto que não fosse o ponto L, bastaria avaliarmos se isso iria comprimir ou tracionar o ponto pedido. Essa tensão afetaria a direção da σ 2 , e a fórmula que deveríamos usar, seria dada por:

σ M = - M y I

E que no nosso elemento ficaria sendo:

E agora só temos mais dois esforços a serem avaliados, uma força a ser avaliada que é a força vertical, que vai gerar um cortante na nossa seção, e esse cortante gerará no nosso elemento uma tensão cisalhante dada pela seguinte equação:

τ x y 1 = V Q I B

E assim o nosso elemento será dado por:

Para o torsor, precisamos lembrar da seguinte equação:

τ x y 2 = T r e J

Em que temos que:

J = π r e 4 2 - π r i 4 2 = π 2 r e 4 - r i 4

E assim o nosso elemento será dado por:

E agora só falta definir essas duas tensões   σ 2   e     σ 1   onde as tensões normais são calculadas da seguinte maneira.

  • Sabemos que a nossa tubulação é cilíndrica e não esférica, nesse caso, usaríamos as seguintes equações:
  • σ y = σ 2 = p r 2 t

    σ x = σ 1 = p r t

  • Sabemos que o nosso diâmetro dado, é o diâmetro externo, ou seja, precisamos descontar a espessura, sendo assim temos que:
  • r = D 2 - t

  • E sabemos que t é a espessura
  • p é a pressão que age na nossa estrutura

Até aqui tudo certo, certo? Mas ai entra uma coisa bem legal, lembra que o enunciado quer saber as TENSÕES máximas cisalhante e normal, e agora que temos um elemento infinitesimal, como vamos fazer para determinar as tensões máximas? Só lembrar das nossas fórmulas dadas por:

σ 1 n o v a = σ m e d + R

σ 2 n o v a = σ m e d - R

Sabemos que:

σ m e d = σ x + σ y 2

τ x y m a x = R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

Agora sim temos toda a matéria prima para resolver o nosso problema, vamos nessa??

Passo 3

Com tudo em mãos, vamos definir todas as tensões que agem no nosso elemento, e depois que tivermos o elemento em mãos, ai sim definimos as máximas tensões:

  • σ 2   e   σ 1
  • Sabemos pelo enunciado que:

    t = 6   m m = 0,006   m

    D e = 462   m m = 0,462 m

    p = 130   k P a = 130 k N m 2

    Calculando o raio interno, temos que:

    r i = D 2 - t = 0,462 2 - 0,006   = 0,225   m

    Calculando a tensão, teremos que:

    σ 2 = p r i 2 t = 130 k N m 2   .   0,225   m 2   .     0,006 m = 2437,5 k N m 2 = 2,44   M P a

    σ 1 = p r i t = 130 k N m 2   .   0,225   m 0,006 m = 4875 k N m 2 = 4,88   M P a

  • σ M  
  • Como o ponto K está sobre a linha neutra, sabemos que:

    σ M = 0

  • τ x y 1  
  • τ x y = V Q I B

    Sabemos pelo enunciado que:

    V = 5   k N

    O valor da seção de corte é dada por:

    B = 2 t = 2   .   6 = 1 2 m m = 0,01 2 m

    O momento de inércia são duas seções circulares, uma com o raio externo como positivo, e um com raio interno negativo, isso tem o objetivo de acharmos o momento de inércia da parede do tubo, então basta fazer o momento de inércia da seção total menos a inercia da seção interna, assim teremos que:

    I = π r e 4 4 - π r i 4 4 = π 4 r e 4 - r i 4 = π 4 0 , 231 4 - 0 , 225 4 = 2,23 × 10 - 4   m 4

    E o momento estático vai usar o mesmo conceito, mas seguindo a seguinte equação:

    Áreas da seção

    A 1 = π r e 2 2 = π 0 , 231 2 2 = 0,0838   m 2

    A 2 = π r i 2 2 = π 0 , 225 2 2 = 0,0795   m 2

    Distância do centroide

    Lembrando que a nossa seção 1 é positiva e a 2 é negativa, para termos o momento estático apenas da parede do tanque, sendo assim, teremos que:

    Q = A 1 d 1 - A 2 d 2 = 0,0838   . 4   .     0 , 231 3 π - 0,0795     . 4   .     0 , 225 3 π = 6,24 × 10 - 4 m m 3

    Substituindo teremos que:

    τ x y 1 = 5   k N   .     6,24   .   10 - 4 [ m m 3 ] 2,23   .   10 - 4   [ m 4 ]   .   0,0 12 m   = 1166 k N m 2 = 1,17   M P a

  • τ x y 2  

τ x y = T r e J

Sabemos que o esforço de torção é dado por:

T = 2,5   k N m

Temos que o raio externo é dado por:

r e = D 2 = 0,462 2 = 0,231   m

r i = D 2 - t = 0,462 2 - 0,006   = 0,225   m

E sabemos que o momento polar de inércia é dado por:

J = π 2 0,231 4 - 0,225 4 = 4,47 × 10 - 4   m 4

τ x y = 2,5   k N m   0,231   [ m ]   4,47 × 10 - 4   [ m 4 ] = 1292 k N m 2 = 1,29   M P a

Agora precisamos dos elementos infinitesimais, com isso, teremos que:

Passo 4

E agora que temos o elemento infinitesimal, precisamos apenas das tensões principais, e essas tensões principais são dadas pela seguinte equação.

σ m e d = σ x + σ y 2

σ m e d = 2,44 + 4,88 2 = 3,66   M P a

τ x y m a x = R = σ x - σ y 2 2 + τ x y 2

τ x y m a x = R = 4,88 - 2,44 2 2 + 2,46 2 = 2,75   M P a

E assim já temos a tensão máxima cisalhante agindo no nosso elemento infinitesimal.

τ x y m a x = 2,75   M P a

As tensões principais normais são dadas por:

σ 1 n o v a = 3,66   + 2,75 = 6,41   M P a

σ 2 n o v a = 3,66 - 2,75 = 0,91   M P a

Resposta

σ 1 n o v a = 6,41   M P a

τ x y m a x = 2,75   M P a

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