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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 20.Problemas - Ex. 8

O telescópio está montado sobre uma estrutura F que permite ser direcionado para qualquer ponto do céu. No instante θ = 30 ° , a estrutura tem uma aceleração   α   y = 0,2   r a d / s 2 e uma velocidade angular w y = 0,3   r a d / s em torno de y ' , e θ ¨ = 0,5   r a d / s 2 enqunto θ ˙ = 0,4   r a d / s . Determine a velocidade e a aceleração da cápsula de observação em C nesse instante.

Passo 1

A velocidade angular neste instante é:

ω = θ ˙ + ω y ' = - 0,4 i + ( 0,3 cos ⁡ 30 ° j + 0,3 sin ⁡ 30 ° k )

ω = [ - 0,4 i   +   0,2598 j   +   0,15 k ]

Passo 2

Observa-se que   ω y ' tem uma direção constante em relação ao sistema xyz rotativo que gira em Ω = θ ˙ = - 0,4   i     r a d / s . Com ( ω ˙ y ' ) x y z = α y ' =   0,2   c o s   30 ° j   +   0,2   s i n   30 ° k = 0,1732 j   +   0,1 k   r a d / s 2 .

ω ˙ y ' = ω ˙ y ' x y z + Ω × ω y '

ω ˙ y ' = 0,1732 j   +   0,1 k + ( - 0,4   i ) × ( 0,3 cos ⁡ 30 ° j + 0,3 sin ⁡ 30 ° k )

ω ˙ y ' = [ 0,2332 j   -   0,003923 k ]   r a d / s 2

Como θ ˙ é sempre direcionado no eixo X , onde Ω = 0 , então :

θ ¨ = ( θ ¨ ) x y z + Ω × θ ˙ = ( θ ¨ ) x y z + 0 × θ ˙ = [ - 0,5 i ] r a d / s 2

A aceleração angular será:

α = ω ˙ y ' + θ ¨ = - 0,5 i   +   0,2332 j   -   0,003923 k r a d / s 2

Passo 3

Velocidade e aceleração escalares:

v C = ω × r O C = ( - 0,4 i   +   0,2598 j   +   0,15 k ) × ( 10 k )

v C = 2.60 i   +   4.00 j m / s

a C = α × r O C + ω × ( ω × r O C )

a C = ( - 0,5 i   +   0,2332 j   -   0,003923 k ) × ( 10 k ) +(   - 0,4 i   +   0,2598 j   +   0,15 k ) × [(   - 0,4 i   +   0,2598 j   +   0,15 k ) × ( 10 k ) ]

a C = 1,73 i   +   5,39 j   -   2,275 k m / s 2

Resposta

De acordo com os passos 1, 2 e 3 a velocidade e a aceleração na cápsula de observação em C serão respectivamente :

v C = 2.60 i   +   4.00 j m / s

a C = 1,73 i   +   5,39 j   -   2,275 k m / s 2

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