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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - J. L. Meriam - Estática - Mecânica para Engenharia- Ed: 7º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 112

A tensão no suporte do cabo  B C   é   3200   N . Escreva a força que este cabo exerce sobre a longarina  O A B  como um vetor  T . Determine os ângulos  θ x ,   θ y   e   θ z que a linha de ação de  T  formam com os eixos positivos  x ,   y   e   z .

Passo 1

E aí meus queridos, tudo bom?

Então, prestem muita atenção nesse problema porque ele envolve uns detalhezinhos que podem deixar a gente confuso de não prestar bastante atenção. Primeiramente vamos escrever as coordenadas dos nossos pontos B   e   C que são dadas por

B = 1.5,2.1,0.45 ,     C = 1.8,0 , 0.9

Com isso, conseguimos escrever o vetor B C → dado por

B C → = 1,8 - 1,5 i ^ + 0 - 2,1 j ^ + 0,9 - 0,45 k ^

B C → = 0,3   i ^ - 2,1   j ^ + 0,45   k ^

Dividindo esse vetor por seu módulo vamos encontrar o vetor unitário na direção B C que será dado por

n b c = 0,3   i ^ - 2,1   j ^ + 0,45   k ^ 0,3 2 + - 2,1 2 + 0,45 2 = 0,138   i ^ - 0,968   j ^ + 0,2075   k ^

Passo 2

Dessa forma, nossa força pode ser escrita como sendo

T → = T ⋅ 0,138   i ^ - 0,968   j ^ + 0,2075   k ^  

T → = 3200 ⋅ 0,138   i ^ - 0,968   j ^ + 0,2075   k ^

T → = 443   i ^ - 3100   j ^ + 664   k ^

Passo 3

Agora, podemos calcular os ângulos que o vetor forma com cada um dos eixos usando a seguinte fórmula

cos ⁡ θ i = T i T

Que é uma consequência da definição do produto escalar. Agora, vamos aplicar essa fórmula a cada uma das componentes de modo a obter

cos ⁡ θ x = T x T = 443 3200 = 0,138

cos ⁡ θ y = T y T = - 3100 3200 = - 0,968

cos ⁡ θ z = T z T = 664 3200 = 0,2075

Agora é só calcular os ângulos usando a calculadora

θ x = 82 ° ,     θ y = 165,6 ° ,     θ z = 78 °

Pronto, tá resolvido nosso problema.

Resposta

T → = 0,138   i ^ - 0,968   j ^ + 0,2075   k ^

θ x = 82 ° ,     θ y = 165,6 ° ,     θ z = 78 °

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