Responde Aí
Acesse com GoogleAcesse com AppleAcesse com Facebook

Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 126

A Terra tem uma órbita com uma excentricidade e = 0,0821 em torno do Sol. Sabendo que a distância mínima da Terra ao Sol é 151,3   ( 10 6 ) km, determine a velocidade escalar na qual um foguete se move quando ele está a esta distância. Determine a equação em coordenadas polares que descreve a órbita da Terra em torno do Sol.

Passo 1

O enunciado nos diz que:

Excentricidade da órbita da Tera em torno do Sol: e = 0,0821 ;

Distância mínima da Terra ao Sol: r 0 = 151,3 10 6   k m = 151,3 10 9 m .

Devemos determinar a velocidade escalar na qual um foguete se move quando ele está a esta distância e a equação que descreve a órbita da Terra em torno do Sol em coordenadas polares.

Suponha que o raio da Terra é 6378 km;

A massa da Terra é de M e = 5,976(1024) kg;

A massa do Sol é de M s = 1 ,99(1030) kg;

A constante gravitacional é de G = 66,73 10 - 12   m 3 / ( k g   s 2 ) .

Raio da Terra: r T = 6378   k m

Passo 2

Sabemos que a equação da excentricidade é dada pela Equação 13.18:

e = C h 2 G M s

Onde h e C são constantes definidas pelas Equações 13.20 e 13.21 a seguir:

h = r 0 v 0

C = 1 r 0 1 - G M s r 0 v 0 2

Substituindo esses valores na equação da excentricidade, obtemos

e = 1 r 0 1 - G M s r 0 v 0 2 ( r 0 v 0 ) 2 G M s

e = r 0 v 0 2 G M s 1 - G M s r 0 v 0 2

e = r 0 v 0 2 G M s - 1

Passo 3

Queremos encontrar a velocidade na qual o foguete se move, portanto devemos colocar v 0 em evidência:

e = r 0 v 0 2 G M s - 1

r 0 v 0 2 = G M s ( e + 1 )

v 0 = G M s e + 1 r 0  

Substituindo os valores dados no enunciado, obtemos

v 0 = 66,73 10 - 12 ( 1 , 99 ) ( 10 30 ) 0,0821 + 1 151,3 ( 10 9 )  

v 0 = 30817,78   m / s = 30,8   k m / s

Passo 4

Agora vamos determinar a equação que descreve a órbita da Terra em torno do Sol em coordenadas polares.

A Equação 13.22 a seguir é a equação para trajetória de voo livre e em coordenads polares:

1 r = 1 r 0 1 - G M s r 0 v 0 2 cos ⁡ θ + G M s r 0 2 v 0 2

Substituindo os valores conhecidos na equação acima, obtemos

1 r = 1 151,3 ( 10 9 ) 1 - 66,73 10 - 12 ( 1 , 99 ) ( 10 30 ) 151,3 10 9 30817,78 2 cos ⁡ θ + 66,73 10 - 12 ( 1 , 99 ) ( 10 30 ) 151,3 10 9 2 30817,78 2

onde

1 r = 0,502 10 - 12 cos ⁡ θ + 6,11 10 - 12

é a equação pedida pela questão.

Resposta

v 0 = 30,8   k m / s

1 r = 0,502 10 - 12 cos ⁡ θ + 6,11 10 - 12

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

O cilindro C de 1,5 kg desloca-se ao longo da trajetória descrita por r = ( 0,6 sen ⁡ θ ) m. Se o braço O A gira no sentido anti-horário com uma velocidade angular constante de θ ˙ = 3 rad/s, determin
Uma bola de 0,5 kg é guiada ao longo da trajetória circular vertical r = 2 r c cos ⁡ θ usando o braço O A . Se o braço tem velocidade angular θ ˙ = 0,4r a d / s e aceleração angular θ ¨ = 0,8r a d / s
O piloto de um avião executa um loop vertical que em parte segue a trajetória de uma cardioide, r = 180 ( 1 + cos ⁡ θ ) m . Se a sua velocidade em A( θ = 0 ° ) é uma constante v P = 24m / s , determin
Determine o aumento na velocidade vetorial do ônibus espacial no ponto P de maneira que ele se desloque de uma órbita circular para uma órbita elíptica que passa pelo ponto A . Também calcule a veloci
Prove a terceira lei do movimento de Kepler. Dica: utilize as equações 13.19, 13.28, 13.29 e 13.31.