Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 116
Prove a terceira lei do movimento de Kepler. Dica: utilize as equações 13.19, 13.28, 13.29 e 13.31.
Passo 1
A terceira lei do movimento de Kepler pode ser resumida como:
o quadrado do período de qualquer planeta é diretamente proporcional ao cubo do eixo maior da sua órbita.
O período é dado por e o maior eixo é dado por .
Suponha que:
O raio da Terra é 6378 km;
A massa da Terra é 5,976(1024) kg;
A massa do Sol é 1,99(1030) kg;
A constante gravitacional é de .
Vamos utilizar as equaçõs sugeridas pelo enunciando para provar tal lei.
Passo 2
A Equação 13.19 é dada por
Para e , ou seja, os extremos de uma órbita, temos que
Onde é uma constante que pode ser determinada a partir de dados obtidos para a posição e velocidade do corpo analisado. Nesta questão, como não temos esses dados, queremos eliminá-la da equação.
Portanto, somaremos as duas equações, obtendo
Passo 3
Temos as equações 13.28 e 13.29 a seguir
Substituindo esses valores na equação obtida no passo 2, obtemos
Além disso, temos a Equação 13.31, exibida abaixo,
Substituindo os valores de e , obtemos
Passo 4
Queremos achar uma relação entre e .
Vimos que
Logo,
Elevando o valor de ao quadrado, obtemos
Substituindo este valor em
Encontramos,
Resposta
Ei, a resposta está no passo a passo :)