Prove a terceira lei do movimento de Kepler. Dica: utilize as equações 13.19, 13.28, 13.29 e 13.31.

Passo 1

A terceira lei do movimento de Kepler pode ser resumida como:

o quadrado do período de qualquer planeta é diretamente proporcional ao cubo do eixo maior da sua órbita.

O período é dado por T e o maior eixo é dado por a .

Suponha que:

O raio da Terra é 6378 km;

A massa da Terra é 5,976(1024) kg;

A massa do Sol é 1,99(1030) kg;

A constante gravitacional é de G = 66,73 10 - 12   m 3 / ( k g   s 2 ) .

Vamos utilizar as equaçõs sugeridas pelo enunciando para provar tal lei.

Passo 2

A Equação 13.19 é dada por

1 r = C cos ⁡ θ + G M h 2

Para θ = 0 ° e θ = 180 ° , ou seja, os extremos de uma órbita, temos que

1 r p = C + G M h 2

1 r a = - C + G M h 2

Onde C é uma constante que pode ser determinada a partir de dados obtidos para a posição e velocidade do corpo analisado. Nesta questão, como não temos esses dados, queremos eliminá-la da equação.

Portanto, somaremos as duas equações, obtendo

1 r p = C + G M h 2 1 r a = - C + G M h 2

1 r p + 1 r a = 2 G M h 2

r a + r P r p r a = 2 G M h 2

Passo 3

Temos as equações 13.28 e 13.29 a seguir

a = r P + r a 2

b = r P r a

Substituindo esses valores na equação obtida no passo 2, obtemos

2 a b 2 = 2 G M h 2

Além disso, temos a Equação 13.31, exibida abaixo,

T = π h r P + r a r P r a

Substituindo os valores de a e b , obtemos

T = π h ( 2 a ) ( b )

Passo 4

Queremos achar uma relação entre T e a .

Vimos que

T = π h ( 2 a ) ( b )

Logo,

b = T h 2 π a

Elevando o valor de b ao quadrado, obtemos

b 2 = T 2 h 2 4 π 2 a 2

Substituindo este valor em

2 a b 2 = 2 G M h 2

Encontramos,

2 a   4 π 2 a 2 T 2 h 2 = 2 G M h 2

4 π 2 a 3 T 2 h 2 = G M s h 2

T 2 = 4 π 2 G M s a 3

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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