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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Dinâmica: Mecânica para Engenharia - 12ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 12º - Capítulo 13.Problemas - Ex. 134

Um satélite é lançado com uma velocidade vetorial inicial v 0 = 4000   k m / h paralelo à superfície da Terra. Determine a altitude necessária (ou faixa de altitudes) acima da superfície da Terra para o lançamento se a trajetória de voo livre for (a) circular, (b) parabólica, (c) elíptica e (d) hiperbólica.

Passo 1

O enunciado nos diz que:

Velocidade inicial do satélite: v 0 = 4000   k m / h

Devemos determinar a altitude necessária para o lançamento do satélite caso a trajetória seja circular, parabólica, elíptica ou hiperbólica.

Lembre-se de utilizar as unidades do SI.

Velocidade inicial do satélite:

v 0 = 4000 k m h 1 1000 m 1 3600 h s = 1111   m / s

Suponha que o raio da Terra é 6378 km;

A massa da Terra é de M e = 5,976(1024) kg;

A massa do Sol é de M s = 1 ,99(1030) kg;

A constante gravitacional é de G = 66,73 10 - 12   m 3 / ( k g   s 2 ) .

Raio da Terra: r T = 6378   k m

Passo 2

(a) Circular

Em uma órbita circular, a excentricidade é e = 0 e a velocidade é dada pela seguinte equação

v 0 = G M e r 0

Colocando r 0 em evidência, temos

r 0 2 = G M e v 0 2 = 66,73 10 - 12 5,976 10 24 1111 2

r 0 = 323 10 6   m  

Portanto, a altitude r é igual a

r = r 0 - r T = 323 10 6 - 6378 10 3 = 317   M m

Passo 3

(b) Parabólica

Em uma trajetória parabólica, a excentricidade é e = 1 e a velocidade é dada pela seguinte equação

v 0 = 2 G M e r 0

Colocando r 0 em evidência, temos

r 0 2 = 2 G M e v 0 2 = 2 ( 66,73 ) 10 - 12 5,976 10 24 1111 2

r 0 = 646 10 6   m  

Portanto, a altitude r é igual a

r = r 0 - r T = 646 10 6 - 6378 10 3 = 640   M m

Passo 4

(c) Elíptica

Em uma órbita elíptica, a excentricidade é e < 1 .

Portanto, a altitude estará entre um intervalo:

317   M m < r < 640   M m

Pois, para r = 317   M m , a trajetória se torna circular e para r = 640   M m , a trajetória se torna parabólica.

Passo 5

(d) Hiperbólica

Em uma trajetória hiperbólica, a excentricidade é e > 1 .

Portanto, a altitude estará entre um intervalo:

r > 640   M m

Resposta

r = 317   M m

r = 640   M m

317   M m < r < 640   M m

r > 640   M m

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