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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Estática- Ed: 9º - Capítulo 2.Problemas - Ex. 110

Uma torre de transmissão é sustentada por três cabos de sustentação ligados a um pino em A e ancorados por parafusos em B, C e D. Se a tensão no cabo AC é de 4092 N, determine a força vertical P exercida pela torre no pino em A.

Passo 1

Podemos escrever o somatório de forças no ponto A como:

∑ F → A = 0

T → A B + T → A C + T → A D + P j → = 0

Agora precisamos escrever os vetores tensão em termos de suas coordenadas, para isso, precisamos primeiro escrever o vetor que liga esses pontos, então:

A B → = - 1,4 i → - 2,7 j → + 0,9 k →

A C → = 0,9 i → - 2,7 j → + 1,9 k →

A D → = 0,6 i → - 2,7 j → - 1,8 k →

Agora, calculando o módulo desses vetores:

A B = - 1,4 2 + - 2,7 2 + 0,9 2 → A B = 3,17   m

A C = 0,9 2 + - 2,7 2 + 1,9 2 → A C = 3,42   m

A D = 0,6 2 + - 2,7 2 + - 1,8 2 → A D = 3,3   m

Agora podemos escrever os vetores tensão como:

T → A B = T A B . A B → A B = T A B - 0,442 i → - 0,852 j → + 0,284 k →

T → A C = T A C . A C → A C = T A C 0,263 i → - 0,789 j → + 0,555 k →

T → A D = T A D . A D → A D = T A D 0,182 i → - 0,818 j → - 0,545 k →

Passo 2

Agora substituindo os valores das tensões na equação de equilíbrio de forças do passo 1, temos:

T A B - 0,442 i → - 0,852 j → + 0,284 k → + T A C 0,263 i → - 0,789 j → + 0,555 k → + T A D 0,182 i → - 0,818 j → - 0,545 k → + P j → = 0

Agora vamos separar as componentes i → ,   j → e k → :

- 0,442 T A B + 0,263 T A C + 0,182 T A D = 0

- 0,852 T A B - 0,789 T A C - 0,545 T A D + P = 0

0,284 T A B + 0,555 T A C - 0,545 T A D = 0

Agora, substituindo o valor da tensão no cabo AC dado no enunciado:

- 0,442 T A B + 1076,2 + 0,182 T A D = 0

- 0,852 T A B - 3228,6 - 0,545 T A D + P = 0

0,284 T A B + 2271,1 - 0,545 T A D = 0

Passo 3

Agora, isolando T A B da terceira equação:

T A B = 1,919 T A D - 7996,8

E, susbtituindo esse valor na equação 1:

- 0,442 1,919 T A D - 7996,8 + 1076,2 + 0,182 T A D = 0 → T A D = 6921   N

Substituindo esse valor na equação anterior:

T A B = 1,919 6921 - 7996,8 → T A B = 5284,7   N

Agora, substituindo esses dois valores na segunda equação do passo 2:

- 0,852 5284,7 - 3228,6 - 0,545 6921 + P = 0 → P = 11503,1   N

Resposta

P = 11503,1   N

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