Enunciado

Três eixos maciços de aço G = 77   G P a , cada um com 18 mm de diâmetro, são conectados pelas engrenagens mostradas. Para os carregamentos dados, determinar: (a) o ângulo de torção da extremidade A, do eixo AB; (b) o ângulo de torção da extremidade E, do eixo EF

Passo 1

Vamos começar calculando a força que atua na engrenagem C.

Pra começo de conversa, as engrenagens B e F exercem forças sobre a engrenagem C. A força resultante em C gera um torque que atua em no eixo CD.

Primeiro a gente calcula a força em cada engrenagem:

E agora podemos calcular o torque sobre a engrenagem C:

Passo 2

Agora vamos olhar para os eixos.

Todos os três eixos têm o mesmo diâmetro

O momento de inércia polar é:

J = π d 4 32 = π ⋅ 18 4 32 = 10306   m m 4

Passo 3

Beleza!

Agora já dá para calcular as torções geradas nas barras. Ou seja, já dá para calcular o ângulo entre as extremidades de uma mesma barra.

Primeiro vamos calcular o ângulo relativo entre o ponto A e B:

ϕ A B = T A L A B G J = 10   N m ⋅ 1,6   m 77   G P a ⋅ 10306 m m 4 = 0,0202   r a d

O ângulo relativo entre os pontos E e F:

ϕ E F = T E L E F G J = 20   N m ⋅ 1,6   m 77   G P a ⋅ 10306 m m 4 = 0,0403   r a d

E o ângulo relativo entre os pontos C e D:

ϕ C D = T C L C D G J = 100   N m ⋅ 1,2   m 77   G P a ⋅ 10306 m m 4 = 0,1512   r a d

Passo 4

Como o ponto D não sofre nenhum esforço, podemos usar o ponto D como um ponto fixo. Assim, o ângulo do ponto C será igual a deformação da barra:

ϕ C = ϕ C D + ϕ D = 0,1512 + 0 ⇒ ϕ C = 0,1512   r a d

Agora podemos usar as relações de engrenagens para determinar a deformação dos pontos B e F:

Para o ponto B:

ϕ B r B = ϕ C r C

ϕ B = ϕ C r c r B

ϕ B = 0,1512   0,12 0,03

ϕ B = 0,6048   r a d

Para o ponto F:

ϕ F r F = ϕ C r C

ϕ F = ϕ c r c r F

ϕ F = 0,1512   0,12 0,0 4

ϕ F = 0 , 4536   r a d

Passo 5

Agora está tudo certo!

Podemos calcular as deformações absolutas no ponto A:

ϕ A = ϕ B + ϕ A B = 0,6048 + 0,0202 = 0,525   r a d = 35,8 º

E para o ponto E:

ϕ E = ϕ F + ϕ E F = 0,0403 + 0,4536 = 0,4939   r a d = 28,3 º

Resposta

  1. ϕ A = 35,8 º
  2. ϕ E = 28,3 º
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