As três pequenas esferas estão soldadas à estrutura leve rígida que está girando em um plano horizontal em torno de um eixo vertical através de O com uma velocidade angular θ ˙ = 20   r a d / s . Se um torque M O = 30   N ∙ m é aplicado à estrutura por 5 segundos, calcule a nova velocidade angular θ ˙ ' .

Passo 1

Vamos lembrar da seguinte equação:

∑ M O = H ˙ O

No nosso caso, o momento resultante é a constante M O . Então:

M O = d H O d t

Rearranjando os termos, obtemos a seguinte equação diferencial:

M O   d t = d H O

Agora, integraremos a equação obtida nos dois lados:

∫ 0 t M O d t = Δ H O

M O t = Δ H O

Passo 2

Nesse caso, teremos:

H O = ∑ m i v i r i = ∑ m i r i θ ˙ r i

Então:

M O t = Δ ∑ m i r i 2 θ ˙

M O t = ∑ m i r i 2 Δ θ ˙

M O t = ( θ ˙ ' - θ ˙ ) ∑ m i r i 2

Substituímos os valores:

30 5 = θ ˙ ' - 20 3 0,5 2 + 4 0,4 2 + 3 0,6 2

150 = θ ˙ ' - 20 2,47

θ ˙ ' = 80,7   r a d / s

Resposta

θ ˙ ' = 80,7   r a d / s

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