Use o valor de c 1 citado na resposta do Prob. 2/53 e determine o tempo t necessário para o piloto de drag race descrito naquele problema completar os 400   m da corrida.

Prob. 2/53: A aceleração do piloto de drag race é modelada como a = c 1 - c 2 v 2 , onde o termo v 2 leva em consideração o arrasto aerodinâmico e onde c 1 e c 2 são constantes positivas. Se c 2 é conhecido (a partir de testes no túnel de vento) como 1,64 10 - 4   m - 1 , determine c 1 se a velocidade final é 305   k m / h . Uma drag race é uma corrida em pista reta de 400   m que inicia do repouso.

Passo 1

Pessoal, pra calcular o tempo t e usar a constante c 1 já conhecida, temos que trabalhar com uma equação diferencial que contenha a aceleração a . Como a aceleração a = c 1 - c 2 v 2 está em termos da velocidade, a melhor equação diferencial pra se usar é:

a   d t = d v

Substituindo o valor de a :

c 1 - c 2 v 2   d t = d v

d t = 1 c 1 - c 2 v 2   d v

Passo 2

Show! Agora é só integrar a equação, lembrando que 305   k m / h = 84,7   m / s :

∫ 0 t d t = ∫ 0 84,7 1 c 1 - c 2 v 2   d v

Se consultarmos uma tabela de integrais, veremos que:

t 0 t = 1 2 c 1 c 2 ln ⁡ v + c 1 c 2 v - c 1 c 2 0 84,7

t - 0 = 1 2 c 1 c 2 ln ⁡ 84,7 + c 1 c 2 84,7 - c 1 c 2 - ln ⁡ - 1

t = 1 2 c 1 c 2 ln ⁡ 84,7 + c 1 c 2 84,7 - c 1 c 2

Se substituirmos os valores das constantes c 1 = 9,57   m / s 2 e c 2 = 1,64 10 - 4   m - 1 , teremos:

t = 9,24   s

Resposta

t = 9,24   s

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