Enunciado

Um vagão de carvão com uma massa de 25   t vazio está se deslocando livremente com uma velocidade de 1,2   m / s sob um funil de enchimento que se abre e libera o carvão no vagão em movimento à taxa constante de 4   t por segundo. Determine a distância x percorrida pelo vagão durante o intervalo de tempo em que 32   t de carvão são depositadas no vagão. Despreze qualquer resistência por atrito no rolamento ao longo do trilho horizontal.

Passo 1

Como o vagão está se movendo livremente, podemos ter certeza de que a soma das forças externas é nula. Então:

∑ F x = G ˙ x

G ˙ x = 0

Onde G x é o momento linear do vagão:

d d t m v = 0

Perceba que a velocidade de queda do carvão nem aparece na nossa conta, porque está na direção vertical, e estamos analisando apenas a horizontal.

Passo 2

Vamos encontrar uma expressão para a massa do vagão em função do tempo:

m = m 0 + m ˙ t

m = 25.10 3 + ( 4.10 3 ) ( t )

Vamos voltar para nossa equação lá de cima:

d d t m v = 0

m ˙ v + m v ˙ = 0

E v ˙ é a aceleração a do carrinho:

m ˙ v + m a = 0

m ˙ v + m 0 + m ˙ t a = 0

Mas nosso objetivo é encontrar uma função para o deslocamento em função do tempo. Vamos começar reescrevendo a aceleração:

a = d v d t

E então nossa equação se torna uma EDO separável:

m ˙ v + m 0 + m ˙ t d v d t = 0

d v v = - m ˙ m 0 + m ˙ t   d t

Passo 3

Em seguida vamos resolver essa equação diferencial. Precisamos integrar com v indo da velocidade inicial v 0 = 1,2   m / s até um valor de v , e com o tempo indo de t = 0 até um instante t .

∫ v 0 v d v v = - ∫ 0 t m ˙ m 0 + m ˙ t   d t

ln ⁡ v v 0 = - ln ⁡ m 0 + m ˙ t + ln ⁡ ( m 0 )

E aplicando a expontencial nos dois lados:

v v 0 = e - l n ⁡ ( m 0 + m ˙ t ) e l n ⁡ ( m 0 )

v = m 0 v 0 m 0 + m ˙ t

Passo 4

Beleza, agora precisamos transformar isso em uma função para a posição em relação ao tempo. Precisamos reescrever a velocidade:

v = m 0 v 0 m 0 + m ˙ t

d x d t = m 0 v 0 m 0 + m ˙ t

d x = m 0 v 0 m 0 + m ˙ t   d t

E agora integramos mais uma vez, com x variando de x = 0 até uma posição x qualquer, e t variando novamente de t = 0 até um instante qualquer t :

∫ 0 x d x = ∫ 0 t m 0 v 0 m 0 + m ˙ t   d t

x = m 0 v 0 m ˙ ln ⁡ m 0 + m ˙ t - l n ⁡ ( m 0 )

E podemos reorganizar um pouco:

x = m 0 v 0 m ˙ ln ⁡ m 0 + m ˙ t m 0

Passo 5

Nosso objetivo final é calcular o deslocamento no instante em que a massa de carvão depositada atinge 32   t . Como a máquina despeja 4 toneladas a cada segundo:

T = 32 4 = 8   s

Agora é só substituir na equação com os valores numéricos que foram dados no enunciado:

x = m 0 v 0 m ˙ ln ⁡ m 0 + m ˙ t m 0

x = 25.10 3 1,2 ( 4.10 3 ) ln ⁡ ( 25.10 3 ) + ( 4.10 3 ) ( 8 ) ( 25.10 3 )

x = 7,5 ln ⁡ 57 25

x = 6,18   m

Resposta

O vagão percorre 6,18   m durante esse intervalo de tempo.

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