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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 10.Problemas - Ex. 62

Um vaso de pressão esférico de parede fina com raio interno r e espessura t é submetido a uma pressão interna p . Mostre que o aumento de volume no interior do vaso é Δ V   =   ( 2 p π r 4   / E t ) ( 1   - v   ) . Use uma análise de pequenas deformações.

Passo 1

Vamos para mais uma demonstração?

Então pessoal, o aumento do volume do vaso esférico está correlacionado com o aumento do raio ocasionado pelas tensões. Como o vaso é cilíndrico, teremos que:

σ 1 = σ 2 = p r 2 t

σ 3 = 0

E as deformações provocadas pelas tensões é:

ϵ 1 = ϵ 2 = 1 E σ 1 - v σ 2 + σ 3

E o volume inicial dele:

V = 4 3 π r 3

Passo 2

Primeiro vamos analisar qual vai ser o volume final do vaso após a aplicação das tensões.

V + Δ V = 4 3 π ( r + Δ r ) 3

V + Δ V = 4 3 π r 3 1 + Δ r r 3

Como a questão sugeriu que usássemos uma análise para pequenas deformações podemos fazer a seguinte aproximação:

V + Δ V = 4 3 π r 3 1 + 3 ⋅ Δ r r

Podemos escrever também:

Δ V = 4 3 π r 3 3 Δ r r

A variação volumétrica em um elemento de volume do vaso é dada por:

e v o l = Δ V V = 3 Δ r r

Passo 3

Analisando as deformações ϵ 1 e ϵ 2 podemos deduzir duas expressões.

A primeira pela formula:

ϵ 1 = 1 E σ 1 - v σ 2

ϵ 1 = 1 E p r 2 t - v p r 2 t

ϵ 1 = p r 2 t E 1 - v

E a segunda pelo significado dela, a deformação ϵ 1 pode ser descrita como:

ϵ 1 = 2 π r + Δ r - 2 π r 2 π r

ϵ 1 = Δ r r

Logo:

e v o l = Δ V V = 3 ϵ 1

e v o l = 3 p r 2 t E 1 - v

Sendo assim:

Δ V = V ⋅ e v o l = 4 3 π r 3 3 p r 2 t E 1 - v

Δ V = 2 p π r 4 E t 1 - v

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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