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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Mecânica para Engenharia: Dinâmica Volume 2 - 6ª Edição - James L. Meriam, L. Glenn Kraige- Ed: 6º - Capítulo 1.1 - Ex. 3

Para os vetores   V → 1 e    V → 2 dados, determine V 1 + V 2 , V → 1 + V → 2 , V 1 → - V → 2 , V 1 → × V 2 → , V 2 → × V 1 → e V 1 → ∙ V 2 → . Considere que os vetores sejam adimensionais.

Passo 1

Vamos por partes. O primeiro objetivo é calcular a soma dos módulos dos vetores. Sem problemas, esses valores já foram dados:

V 1 + V 2 = 15 + 12 = 27

Como disse o enunciado, os vetores são adimensionais, então não temos unidades de medida.

Passo 2

Para as próximas perguntas, precisamos achar as componentes x e y dos vetores.

Para o V 1 → a imagem já dá a dica, pois sugere que a gente utilize a proporção 3 ,   4 e 5 do triângulo retângulo. Você deve lembrar pelo menos das duas mais comuns:

3 2 + 4 2 = 5 2

9 2 + 12 2 = 15 2

Então as duas coordenadas do vetor V 1 → são 9 e 12 , mas qual delas é x e qual é y ? O enunciado também já deu essa dica, pois a imagem mostra que a coordenada y do vetor é a menor, então:

V 1 = ( 12,9 )

E para achar as coordenadas de V 2 → , é só tirar proveito daquele ângulo de 60 ° e acertar os sinais!

V 2 → = - 12 cos ⁡ 60 ° , 12 sen ⁡ 60 ° = - 12   . 1 2   ,   12   . 3 2 = ( - 6,6 3 )  

Ok, agora podemos fazer as contas.

Passo 3

Então a soma dos vetores vai ficar assim:

V 1 → + V 2 → = 12,9 + - 6,6 3 = ( 6   ,   9 + 6 3 )

Isso porque, para somar vetores, nós temos que somar cada uma das componentes. Agora tomando os valores numéricos:

V 1 → + V 2 → = ( 6   ,   19,39 )

V 1 → + V 2 → ≅ 6   i ^ + 19,39 j ^

E para a diferença de vetores o cálculo é muito parecido:

V 1 → - V 2 → = 12,9 - ( - 6   ,   6 3 )

V 1 → - V 2 → = 18 i ^ - 1,39 j ^

Passo 4

Para o produto vetorial a coisa fica um pouco mais complicada. A forma mais fácil de calcular é usar essa definição aqui:

V 1 → × V 2 → = i ^ j ^ k ^ V 1 x V 1 y V 1 z V 2 x V 2 y V 2 z = i ^ j ^ k ^ 12 9 0 - 6 6 3 0

Ou seja, calcular o produto vetorial como se fosse o determinante de uma matriz. Se você não lembra como se calcula o determinante de uma matriz 3 × 3 , é uma boa ideia relembrar.

Fazendo os cálculos, vamos chegar na seguinte resposta:

V 1 → × V 2 → = k ^ 72 3 + 54 ≅ 178,7   k ^

Ok, isso é V 1 → × V 2 → , mas e V 2 → × V 1 → ? É só lembrar que o produto vetorial é anticomutativo! Isso quer dizer o seguinte:

( A → × B → ) = - ( B → × A → )

Ou seja:

V 2 → × V 1 → = - 178,7   k ^

Passo 5

Agora falta calcular o produto interno. A fórmula é essa aqui:

x 1 , y 1 ∙ x 2 , y 2 = x 1 x 2 + y 1 y 2

Ou seja:

V 1 → ∙ V 2 → = 12   ,   9 ∙ - 6   ,   6 3 = 12 - 6 + 9 6 3 = - 72 + 54 3

V 1 → ∙ V 2 → ≅ 21,5

Resolvido!

Resposta

V 1 + V 2 = 27

V → 1 + V → 2 = 6   i ^ + 19,39 j ^

V 1 → - V → 2 = 18 i ^ - 1,39 j ^

V 1 → × V 2 → = 178,7   k ^

V 2 → × V 1 → = - 178,7   k ^

V 1 → ∙ V 2 → = 21,5

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