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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 100a

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:

  1. A reação em A

Passo 1

Para usarmos as funções singulares, podemos girar a nossa seção, e fazermos uma mudança para facilitar o nosso cálculo, assim, podemos trabalhar com a seguinte viga:

Separando por regiões temos:

Assim temos que os momentos vão ser dados por:

M 1 = R A x - M A

M 2 = R A x - M A - P < x - L 3 >

E assim podemos definir o nosso momento fletor como sendo:

M x = R A x - M A - P < x - L 3 >

E esse momento que iremos usar na nossa equação, então vamos porá o próximo passo.

Passo 2

Sabemos que a equação que iremos relacionar a integração é dada por:

E I d 2 y d x 2 = M x = R A x - M A - P < x - L 3 >

Integrando duas vezes teremos que:

E I θ = R A x 2 2 - M A x - P 2 < x - L 3 > 2 + C 1

E I y = R A x 3 6 - M A x 2 2 - P 6 < x - L 3 > 3 + C 1 x + C 2

E sabemos que as condições de contorno vão ser dadas por:

E assim podemos descobrir as nossas incógnitas.

Passo 3

Olhando cada uma das condições de contorno, vamos ter que:

  • y 0 = 0

    • Para o ponto inicial, consideramos as equações singulares iguais a zero por elas não estarem no intervalo que estamos, assim, podemos determinar que:

    E I y = R A x 3 6 - M A x 2 2 + C 1 x + C 2

    0 = R A 0 3 6 - M A 0 2 2 + C 1 0 + C 2

    C 2 = 0

  • θ 0 = 0

    • Para o ponto inicial, consideramos as equações singulares iguais a zero por elas não estarem no intervalo que estamos, assim, podemos determinar que:

    E I θ = R A x 2 2 - M A x - P 2 < x - L 3 > 2 + C 1

    0 = R A 0 2 2 - M A 0 + C 1

    C 1 = 0

  • θ L = 0

    • Aqui usamos a equação inteira, assim vamos ter que:

    E I θ = R A x 2 2 - M A x - P 2 < x - L 3 > 2 + C 1

    0 = R A L 2 2 - M A L - P 2 ( L - L 3 ) 2

    M A L = R A L 2 2 - P 2 ( 2 L 3 ) 2

    M A L = R A L 2 2 - 4 P L 2 18

    M A = R A L 2 - 2 P L 9

  • y L = 0

Aqui usamos a equação inteira, assim vamos ter que:

E I y = R A x 3 6 - M A x 2 2 - P 6 < x - L 3 > 3 + C 1 x + C 2

0 = R A L 3 6 - M A L 2 2 - P 6 ( L - L 3 ) 3

M A L 2 2 = R A L 3 6 - P 6 ( 2 L 3 ) 3

M A L 2 2 = R A L 3 6 - 8 P L 3 162

M A = R A L 3 - 8 P L 81

Igualando os dois momentos temos que:

R A L 2 - 2 P L 9 = R A L 3 - 8 P L 81

R A L 2 - R A L 3 = 2 P L 9 - 8 P L 81

3 R A L 6 - 2 R A L 6 = 18 P L 81 - 8 P L 81

R A L 6 = 1 0 P L 81

R A = 6 0 P 81 = 20 P 27

Para acharmos o momento, basta substituirmos, assim temos que:

M A = 20 P 27 L 3 - 8 P L 81 = 20 P L 81 - 8 P L 81 = 12 P L 81 = 4 P L 27

Resposta

  1. R A = 20 P 27             ;           M A = 4 P L 27
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