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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 71

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar a) a equação da linha elástica b) a deflexão no ponto médio C.

Passo 1

E ai gurizada tudo belezinha??? Vamos analisar a viga em questão... antes de tudo vamos desenhar o diagrama de corpo livre :D

Primeiramente vamos calcular o somatório de forças em Y., vamos considerar que as reações são iguais...

+ ↑ ∑ F y =   0

R a + R B - 2 w a = 0  

R a = w a

Calculando o somatório do momento em A temos:

+ ↺ ∑ M a = F   x   d = 0

w x = w - w x - a + w ( x - 3 a ) =   0

- w x = - w + w x - a - w ( x - 3 a ) =   0

Integrando a equação temos....

d M d x = V = R a - w x + w x - a - w ( x - 3 a )

Integrando novamente...

M = M a + R a x - 1 / 2 w x 2 + w / 2 x - a ² - w / 2 ( x - 3 a ) ²

Considerando que Ma=0

E I d 2 y d x 2 = M = w a x - w x 2 2 + w 2 x - a 2 - w 2 ( x - 3 a ) ²

Integrando teremos....

E I d y d x = w a x 2 2 - w x 3 6 + w 6 x - a 3 - w 6 x - 3 a 3 + C 1

Integrando mais uma vez teremos....

E I y = w a x 3 6 - w x 4 24 + w 24 x - a 4 - w 24 x - 3 a 4 + C 1 x + C 2

Considerando que o comprimento da viga é 4ª, ou seja, x=4a então teremos....

4 C 1 = w a ( 4 a ) 3 6 - w ( 4 a ) 4 24 + w 24 x - a 4 - w 24 ( 4 a ) - 3 a 4

C 1 =   - 5 w a ³ 6

Passo 2

Agora vamos achar a equação linear, vem comigo :D

y = W E I ( a x 3 6 - x 4 24 + 1 24 x - a 4 - 1 24 x - 3 a 4 + - 5 a 3 x 6 )

Passo 3

Agora para encontrarmos a deflexão vamos considerar que: x= 2a

Y c = w a 4 E I × ( - 1 6 2 3 - 1 24 2 4 + 1 24 1 4 + 0 - 5 6 × 2 = - 23 24 w a 4 E I

Resposta

a ) y = W E I ( a x 3 6 - x 4 24 + 1 24 x - a 4 - 1 24 x - 3 a 4 + - 5 a 3 x 6 )

b )   Y c = - 23 24 w a 4 E I

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