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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Resistência dos Materiais- Ed: 3º - Capítulo 8.Problemas - Ex. 101a

Para a viga com o carregamento mostrado, determinar:

  1. A reação em A

Passo 1

Fala galerinha, sabemos que a nossa viga é dada da seguinte maneira:

Separando por regiões temos:

Assim temos que os momentos vão ser dados por:

M 1 = R A x - M A

M 2 = R A x - M A - w < x - L 2 > < x - L 2 > 2 = R A x - M A - w 2 < x - L 2 > 2

E assim podemos definir o nosso momento fletor como sendo:

M x = R A x - M A - w 2 < x - L 2 > 2

E esse momento que iremos usar na nossa equação, então vamos pora o próximo passo.

Passo 2

Sabemos que a equação que iremos relacionar a integração é dada por:

E I d 2 y d x 2 = M x = R A x - M A - w 2 < x - L 2 > 2

Integrando duas vezes teremos que:

E I θ = R A x 2 2 - M A x - w 6 < x - L 2 > 3 + C 1

E I y = R A x 3 6 - M A x 2 2 - w 24 < x - L 2 > 4 + C 1 x + C 2

E sabemos que as condições de contorno vão ser dadas por:

E assim podemos descobrir as nossas incógnitas.

Passo 3

Olhando cada uma das condições de contorno, vamos ter que:

  • y 0 = 0

    • Para o ponto inicial, consideramos as equações singulares iguais a zero por elas não estarem no intervalo que estamos, assim, podemos determinar que:

    E I y = R A x 3 6 - M A x 2 2 - w 24 < x - L 2 > 4 + C 1 x + C 2

    0 = R A 0 3 6 - M A 0 2 2 + C 1 0 + C 2

    C 2 = 0

  • θ 0 = 0

    • Para o ponto inicial, consideramos as equações singulares iguais a zero por elas não estarem no intervalo que estamos, assim, podemos determinar que:

    E I θ = R A x 2 2 - M A x - w 6 < x - L 2 > 3 + C 1

    0 = R A 0 2 2 - M A 0 + C 1

    C 1 = 0

  • θ L = 0

    • Aqui usamos a equação inteira, assim vamos ter que:

    E I θ = R A x 2 2 - M A x - w 6 ( x - L 2 ) 3 + C 1

    0 = R A L 2 2 - M A L - w 6 ( L - L 2 ) 3 + 0

    0 = R A L 2 2 - M A L - w 6 L 3 8  

    0 = R A L 2 2 - M A L - w L 3 48

    M A = R A L 2 - w L 2 48

  • y L = 0

Aqui usamos a equação inteira, assim vamos ter que:

E I y = R A x 3 6 - M A x 2 2 - w 24 < x - L 2 > 4 + C 1 x + C 2

0 = R A L 3 6 - M A L 2 2 - w 24 ( L - L 2 ) 4 + 0 + 0

0 = R A L 3 6 - M A L 2 2 - w 24 L 4 16

M A L 2 2 = R A L 3 6 - w L 4 384

M A = R A L 3 - w L 2 192

Igualando os dois momentos temos que:

R A L 2 - w L 2 48 = R A L 3 - w L 2 192

R A L 2 - R A L 3 = w L 2 48 - w L 2 192

R A L 6 = 3 w L 2 192

R A = 18 w L 192

R A = 3 w L 32

Para acharmos o momento, basta substituirmos, assim temos que:

M A = 3 w L 32 L 3 - w L 2 192 = w L 2 32 - w L 2 192 = 6 w L 2 192 - w L 2 192 = 5 w L 2 192

Resposta

  1. R A = 3 w L 32             ;           M A = 5 w L 2 192
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