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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 149

Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a reação no apoio móvel.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Tá legal, antes de desenhar o DCL para esse sistema, como temos o engaste em A e o carregamento triangular começando de A e indo em direção B, vamos precisar desenhar um carregamento equivalente para o sistema, já que vamos analisar as forças e momentos andando da direita para a esquerda, e não sabemos escrever o carregamento dado nesse sentido. No entanto, podemos desenhar o carregamento equivalente a seguir:

Agora vamos desenhar o DCL para uma seção da viga de comprimento 0 < x < L , orientado da direita para a esquerda, para obter a expressão para o momento nessa parte, então teremos:

Então, nesse caso, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F, teremos:

+ ↺ ∑ M F = 0

- M + B y x - w 0 x x 2 + w 0 x 2 L x x 3 = 0 → M = B y x - w 0 x 2 2 + w 0 x 3 6 L

Passo 3

Com a equação para o momento que encontramos, podemos dividir o momento em três partes, o causado pela força reação de apoio em B, que chamaremos de momento 1, o causado pela carga distribuída uniforme, que chamaremos de momento 2, e o causado pela carga distribuída triangular, que será nosso momento 3, então teremos:

M 1 = B y x   0 < x < L

M 2 = - w 0 x 2 2 0 < x < L

M 3 = w 0 x 3 6 L 0 < x < L

Agora vamos calcular os momentos no ponto A para cada um deles, para que depois possamos desenhar o diagrama M/EI, então teremos:

M 1 A = B y L → M 1 A = B y L

M 2 A = - w 0 L 2 2 → M 2 A = - w 0 L 2 2

M 3 A = w 0 L 3 6 L → M 3 A = w 0 L 2 6

Passo 4

Então nosso diagrama M/EI será:

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, então vamos lá:

A 1 = b h 2 = L B y L E I 2 → A 1 = B y L 2 2 E I

x - 1 = b 3 = L 3 → x - 1 = L 3

A 2 = b h 3 = L - w 0 L 2 2 E I 3 → A 2 = - w 0 L 3 6 E I

x - 2 = b 4 = L / 2 2 → x - 2 = L 4

A 3 = b h 4 = L w 0 L 2 6 E I 4 → A 3 = w 0 L 3 24 E I

x - 3 = b 5 = L 5 → x - 3 = L 5

Passo 5

Agora, usaremos o teorema do segundo momento de área, onde teremos:

t B / A = A B A x - + θ A L → t B - t A = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + θ A L

Beleza, agora como sabemos que não teremos inclinação e nem deflexão no ponto A, já que temos um engaste, e que não teremos deflexão no ponto B, devido ao apoio, a equação acima se torna:

0 - 0 = A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3 + 0 L → A 1 x - 1 + A 2 x - 2 + A 3 x - 3 = 0

Substituindo os valores conhecidos nessa equação, chegamos em:

B y L 2 2 E I L - L 3 + - w 0 L 3 6 E I L - L 4 + w 0 L 3 24 E I L - L 5 = 0 → B y L 3 3 E I = w 0 L 4 8 E I - w 0 L 4 30 E I

B y = 11 40 w 0 L

Tooop! Terminamos mais um!!

Resposta

B y = 11 40 w 0 L

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O eixo suporta as cargas das duas polias mostradas na figura. Determine a equação da linha elástica. Os mancais em A e B exercem somente reações verticais sobre o eixo. EI é constante.
A viga está sujeita à carga mostrada na figura. Determine a equação da linha elástica. EI é constante.
Para a viga prismática e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a deflexão no ponto D e (b) a inclinação na extremidade A .
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a constante k da mola para a qual a força da mola é igual a um terço da força total na viga.
Para a viga e o carregamento mostrados na figura, determine a constante k da mola para a qual o momento fletor em B é M B = - w L 2 / 10 .