Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 5.Problemas - Ex. 116
Uma viga de madeira está sendo projetada para ser vinculada e carregada conforme mostra a figura. (a) Usando funções de singularidade, encontre a intensidade e a localização do momento fletor máximo na viga. (b) Sabendo que o estoque disponível consiste em vigas com uma tensão admissível de 12 MPa e seção transversal retangular de 30 mm de largura e altura h variando de 80 mm até 160 mm com incrementos de 10 mm, determine a seção transversal mais econômica que pode ser utilizada.
Passo 1
Beleza! A primeira coisa que vamos fazer é desenhar o diagrama de corpo livre para a viga, dessa forma, o DCL será:
Com o DCL acima, podemos aplicar o somatório de momentos em relação ao ponto C e com isso encontrar a reação no ponto A. Então teremos:
Opa! Agora, como temos um carregamento distribuído, devemos lembrar que nesse caso, prolongamos o carregamento dado até o final da viga e colocamos um carregamento de mesma intensidade, mas sentido oposto, na porção onde não tínhamos carregamento no sistema original, e até o final da viga também. Ou seja, o carregamento equivalente ficará assim:
Lembrando que, como temos carregamento distribuído, podemos escrever ele primeiro, considerando o ponto A como origem do nosso sistema, teremos:
Passo 2
Agora podemos encontrar a força cortante sabendo que ela será o oposto da integral da equação do carregamento, ou seja:
Substituindo a expressão para e resolvendo a integral, chegamos em:
A constante de integração nesse caso corresponde as forças localizadas aplicadas no sistema, no nosso caso, temos somente , então nossa constante será:
Então, nossa equação para a força cortante será:
Passo 3
Agora, para encontrarmos a equação do momento fletor, como já temos a equação para a força cortante, basta lembrar que a derivada do momento equivale a força cortante, ou seja:
Isolando as variáveis dessa equação, temos:
Integrando essa expressão dos dois lados, teremos:
Agora, substituindo a expressão encontrada para no passo 1, a equação acima se torna:
Resolvendo a integral, teremos:
Em que é a constante de integração. Nesse caso, a constante de integração corresponde aos momentos localizados que são aplicados ao sistema, no nosso caso não temos nenhum momento localizado, então teremos:
Então a equação do momento será:
Passo 4
Agora para encontrar a tensão normal máxima, precisamos primeiro do momento máximo. Para isso, vamos igualar a derivada da função momento (que é a própria equação da força cortante) a zero, e encontrar a localização do momento máximo. Fazendo isso, teremos:
Nesse caso, como estamos trabalhando com a função de singularidade, precisamos dividir a função nos intervalos para calcular separadamente o valor de máximo para cada intervalo. Então, começando pelo primeiro intervalo, em teremos:
O valor de encontrado está fora do intervalo de análise, dessa forma não temos um ponto de máximo nesse intervalo. Vamos agora considerar o intervalo , onde teremos:
Opa! Achamos um valor dentro do intervalo de análise. Então essa será a localização do momento máximo. Agora para encontrar seu valor, basta substituir essa posição de na equação que encontramos para o momento lá no passo 3. Então, fazendo isso, teremos:
Passo 5
Beleza! Agora para a letra (b), nós sabemos que a tensão normal máxima provocada pelo momento fletor é dada por:
O enunciado nos fornece uma viga de perfil quadrado. Para esse perfil, sabemos que o momento de inércia é dado por:
Sabemos também que a distância será metade da altura da viga, já que a tensão máxima irá ocorrer na extremidade da viga. Dessa forma, substituindo essas informações na equação da tensão, ela se torna:
Agora, vamos substituir os valores conhecidos nessa equação e encontrar o valor mínimo de para a viga:
Opa! Ainda não acabamos, o enunciado nos disse que a altura da viga pode variar de 80 até 160 mm, com incrementos de 10 mm. Nesse caso, como precisamos de no mínimo 120,156 mm, devemos escolher uma viga com:
Esse valor de garante a tensão admissível dada no enunciado e também atende ao incremento de 10 mm na altura dado no enunciado.