Enunciado
Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 112
Para a viga prismática e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a inclinação na extremidade A e (b) a deflexão no centro C da viga.
Passo 1
Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!
Passo 2
Beleza, para esse DCL, vamos precisar desenhar as seções para as partes da viga para determinar as equações para o momento. Mas antes podemos determinar as reações nos apoios já, uma vez que o carregamento é simétrico, então as forças nos apoios devem ser iguais, então teremos:
Então, para o DCL, começando com uma seção de comprimento x a partir de A e com comprimento teremos:
Então, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto F da viga, teremos:
Agora, iremos estender a seção até a porção BC da viga, para essa parte, teremos o seguinte DCL:
Então, aplicando o somatório de momento em relação ao ponto G da viga, teremos:
Beleza! Só precisamos dessas informações para resolver o exercício, mas devido a simetria do carregamento, os momentos para a porção direita da viga serão equivalentes a esses que encontramos para a porção esquerda.
Passo 3
Agora, para facilitar a nossa vida nos cálculos, na primeira porção AB, onde temos a seguinte equação de momento:
Vamos separar essa equação na parte linear a na parte parabólica, para poder separar no diagrama e assim poder calcular as áreas e os centroide mais facilmente. Então, para a porção linear, o valor do momento em B será:
E para a porção não linear, teremos:
Agora, para o ponto B (vindo pela direita) e para o ponto C, o momento será dado pela outra equação que encontramos lá no passo 2, onde temos:
Então, com essas informações, podemos desenhar o diagrama para o sistema, que será dado por:
Passo 4
Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, só lembrando que vamos precisar somente da área entre os pontos AB e entre BC, e vamos precisar consultar a Fig. 9.31 vista nessa seção para calcular a área e o centroide do triângulo com hipotenusa parabólica, então teremos:
Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama , então a inclinação do ponto A será:
Substituindo os valores encontrados para a área e sabendo que no ponto C não teremos inclinação devido ao carregamento simétrico, teremos:
Beleza, vamos pra (b) agora!
Passo 5
Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:
Em que é a área embaixo da curva e é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto C. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama , teremos:
Sabendo que não temos deflexão em A devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, teremos:
Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!