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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 113

Para a viga prismática e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a inclinação na extremidade A e (b) a deflexão no centro C da viga.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Beleza, para esse DCL, como só temos momentos concentrados aplicados na viga, fica fácil determinar o diagrama M/EI. Como os momentos possuem sentidos opostos, teremos momento somente na seção central da viga, pois nas seções próximas aos apoios, os momentos se anulam. Dessa forma, para esse caso, teremos o seguinte diagrama M/EI:

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, só lembrando que vamos precisar somente da área entre os pontos AB e entre BC, então teremos:

A A B = 0

A B C = b h = L 2 - a M 0 E I → A B C = M 0 2 E I L - 2 a

x - B C = L 2 - a 2 → x - B C = L - 2 a 4

Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama M / E I , então a inclinação do ponto A será:

θ A / C = θ A - θ C = A A B + A B C

Substituindo os valores encontrados para a área e sabendo que no ponto C não teremos inclinação devido ao carregamento simétric, teremos:

θ A - 0 = 0 + M 0 2 E I L - 2 a

θ A = M 0 2 E I L - 2 a

Beleza, vamos pra (b) agora!

Passo 3

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t C / A = A C A x -

Em que A C A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto C. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t C - t A = A A B x - A B + A B C x - B C

Sabendo que não temos deflexão em A devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, teremos:

t C - 0 = 0 + M 0 2 E I L - 2 a L - 2 a 4

t C = - M 0 8 E I L 2 - 4 a 2

Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a :   θ A = M 0 2 E I L - 2 a

b : t C = - M 0 8 E I L 2 - 4 a 2

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