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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Beer - Mecânica dos Materiais- Ed: 7º - Capítulo 9.Problemas - Ex. 111

Para a viga prismática e o carregamento mostrados nas figuras, determine (a) a inclinação na extremidade A e (b) a deflexão no centro C da viga.

Passo 1

Opaa! Fala pessoal, beleza? Bora pra mais um?! Para resolver esse exercício, vamos utilizar o método do momento de área. Para isso vamos precisar desenhar o diagrama M/EI para a viga. Depois disso, sabemos que a área entre dois pontos sob a curva M/EI representa a inclinação entre esses dois pontos. E para obter a deflexão, vamos utilizar o teorema do segundo momento de área, que nos fornece o desvio tangencial entre dois pontos. Sabendo disso, temos tudo o que precisamos para resolver o exercício, então bora lá!

Passo 2

Beleza, para esse DCL, teremos momento ao longo de toda a viga, com exceção do centro dela, onde o momento será zero. Como temos duas forças localizadas a mesma distância dos apoios, teremos momento crescente de zero no apoio até um momento máximo nesses pontos, depois disso teremos um momento decrescente até o valor zero no centro da viga. Devido a simetria do carregamento, sabemos que as reações nos apoios serão iguais e devem ser então metade das forças P, ou seja:

A y = B y = P - P + P 2 → A y = B y = P 2

E, o momento equivalente na viga será dado por:

M = - P 2 x

Com 0 < x < L / 4 , ou com mesma intensidade e direção oposta do outro lado da viga. Sendo assim, vamos calcular o momento máximo para a viga, que irá ocorrer nos pontos B e D, onde teremos:

M = - P 2 x → M = - P L 8

Então a nossa parcela M / E I para a seção nos pontos B e D será:

M E I B , D = M m a x E I = - P L 8 E I → M E I B , D = - P L 8 E I

Passo 3

Então, o nosso diagrama M / E I será:

Então, agora vamos calcular as áreas que encontramos e os seus centroides, só lembrando que vamos precisar somente da área entre os pontos AB e entre BC, então teremos:

A A B = b h 2 = L 4 - P L 8 E I 2 → A A B = - P L 2 64 E I

x - A B = b 3 = L 4 3 → x - A B = L 12

A B C = b h 2 = L 4 - P L 8 E I 2 → A B C = - P L 2 64 E I

x - B C = b 3 = L 4 3 → x - B C = L 12

Tá legal! Agora podemos calcular a inclinação no ponto A, sabendo que a inclinação entre dois pontos é representada pela área sob a curva do diagrama M / E I , então a inclinação do ponto A será:

θ A / C = θ A - θ C = A A B + A B C

Substituindo os valores encontrados para a área e sabendo que no ponto C não teremos inclinação devido ao carregamento simétrico, teremos:

θ A - 0 = - P L 2 64 E I + - P L 2 64 E I = - P L 2 64 E I - P L 2 64 E I

θ A = - P L 2 32 E I

Beleza, vamos pra (b) agora!

Passo 4

Beleeeza! Agora, sabemos que a deflexão entre dois pontos será dada através do teorema do segundo momento de área, que é dado por:

t C / A = A C A x -

Em que A C A é a área embaixo da curva M / E I e x - é a distância do centroide da área até o eixo vertical que passa pelo ponto de interesse, que no nosso caso é o ponto C. Então, utilizando as áreas que temos no nosso diagrama M / E I , teremos:

t C - t A = A A B x - A B + A B C x - B C

Sabendo que não temos deflexão em A devido ao apoio e substituindo os valores conhecidos, teremos:

t C - 0 = - P L 2 64 E I L 4 + L 12 + - P L 2 64 E I L 4 - L 12

t C = - P L 2 64 E I L 3 - P L 2 64 E I L 6

t C = - P L 2 64 E I L 3 + L 6 → t C = - P L 3 128 E I

Shooow!! Terminamos mais um, valeeu!

Resposta

a :   θ A = - P L 2 32 E I

b : t C = - P L 3 128 E I

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