A viga é sustentada por um pino em C e por um cabo de ancoragem A B de aço A - 36 . Se o cabo tiver diâmetro de 5   m m , determine quanto ele estica quando um carregamento distribuído w = 1,5   k N / m agir sobre o tubo. O material permanece elástico.

Passo 1

Fala aí pessoal, bora para mais um exercício de resmat para tirar aquele notão na prova?

Ele quer o alongamento (a variação de comprimento) do cabo AB por causa desse carregamento distribuído em CB.

Como temos alongamento no cabo, a gente precisa descobrir a tensão nele, e assim a força normal nele. E por isso vamos fazer o diagrama de corpo livre (DCL) dessa estrutura. Aí depois vamos aplicar as equações da estática para achar a força em A B . O DCL fica:

Essa força concentrada de w × 3   m no meio da barra BC é a força equivalente ao carregamento distribuído de w ao longo dos 3   m da barra, tudo bem?

Passo 2

Aí vamos aplicar a equação de momento em C para determinar a força F A B , porque aí não precisamos nos importar com as forças em C . Considerando o sentido horário como positivo:

∑ M c = 0

w × 3 1,5 - F A B sen ⁡ 30 ° × 3 = 0

Percebe que só a componente vertical de F A B causa momento aqui. A componente horizonta aponta para C , então ela não gera momento.

Substituindo o valor de w e fazendo as continhas:

1,5 3 1,5 - F A B 1 2 × 3 = 0

F A B = 4,5   k N = 4500   N

Passo 3

Com isso, vamos encontrar a tensão no cabo A B . Fica assim:

σ A B = F A B A A B

Como a área transversal é circular:

A A B = π ∙ d A B 2 4

A A B = π ∙ ( 0,005 ) ² 4 = 1,96334 × 10 - 5   m 2

σ A B = F A B   A A B

Substituindo: σ A B = 4500   1,96334 × 10 - 5

σ A B = 229,18   M P a

Essa é a tensão atuante no cabo!

Passo 4

Agora que temos a tensão no cabo, precisamos do comprimento inicial do cabo para achar a deformação causada pela tensão.

Podemos tirar esse triângulo da nossa estrutura:

Aí podemos calcular o comprimento do cabo A B utilizando trigonometria, assim:

cos ⁡ 30 ° = 3 L A B

L A B = 3 cos ⁡ 30 °

L A B = 3,46   m = 3460   m m

Passo 5

Como ele diz que o material permanece elástico, podemos usar a lei de Hooke para determinar a deformação do cabo de aço:

σ A B = ε E a ç o

ε = σ A B E a ç o

Substituindo os dados, lembrando que o valor tabelado para o módulo de elasticidade do aço-36 é E = 200   G P a :

ε = 229,18 × 10 6 200 × 10 9

ε = 0.0011459   m m / m m

Logo, pela deformação específica ε , podemos determinar o alongamento δ A B   no cabo A B pela definição de deformação. Fica assim:

ε = δ A B L A B

δ A B = ε L A B

Substituindo os valores:

δ A B = ( 0.0011459 ) ( 3460   m m )

δ A B = 3,97   m m

Resposta

δ A B = 3,97   m m

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