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Enunciado

Mecânica e Resistência dos Materiais - Resistência dos materiais - 7ª Edição - Russel C. Hibbeler- Ed: 7º - Capítulo 11.Problemas - Ex. 34

A viga tem a forma de um tronco de cone reto com diâmetro de 12 mm em A e de 300 mm em B. Se ela suportar uma força de 750 N em A, determine a tensão de flexão máxima absoluta na viga e especifique sua localização em x.

Passo 1

Dados da questão: P = 750   N , L = 900   m m ,   d 0 = 12 m m ,   d L = 300   m m

Para resolver a questão precisamos aplicar a equação da flexão. Porém, o momento interno e a geometria da seção mudam com a distância. Então faremos o seguinte procedimento:

  • Encontramos uma equação para o momento fletor M ( x )
  • Encontramos uma equação para o momento de inércia I ( x )
  • Aplicamos a equação da flexão σ x = M x ⋅ c ( x ) I ( x )
  • Derivamos e igualamos a equação da flexão a zero para encontrar o ponto de máximo d σ x d x = 0
  • Utilizamos o valor encontrado para determinar a tensão máxima

Passo 2

Vamos começar calculando uma equação para o momento fletor. Note que não é preciso calcular as reações de apoio.

∑ M = 0 ⇒ P x + M x = 0

M x = - P x

Passo 3

Vamos investigar o comportamento do diâmetro ao longo da seção

O comportamento é linear:

d x = a x + b

As condições de contorno são:

d 0 = d 0

d L = d L

Resolvendo termos:

d 0 = d 0 ⇒ a ⋅ 0 + b = d 0

b = d 0

d L = d L ⇒ a ⋅ L + b = d L

a ⋅ L + b = d 0

a = d L - d 0 L

A equação final é:

d x = d L - d 0 L x + d 0

d x = ( d L - d 0 ) L x + d 0 d L - d 0 L

Passo 4

Agora vamos determinar expressões que representem as propriedades geométricas:

c x = d x 2

I x = π ⋅ d x 4 64

Passo 5

Vamos aplicar na fórmula da flexão

σ x = M x c x I x

σ x = P x ⋅ d x 2 π ⋅ d x 4 64

σ x = 32 P x π ⋅ d x 3

Substituindo d ( x )

σ x = 32 P x π ⋅ ( d L - d 0 ) L x + d 0 d L - d 0 L 3

Simplificando

σ x = 32 P L 3 π d L - d 0 3 x x + d 0 d L - d 0 L 3

Passo 6

Agora vamos derivar a equação para encontrar o ponto de máximo:

d σ x d x = 0

32 P L 3 π d L - d 0 3 ⋅ 1 x + d 0 d L - d 0 L 3 - x ⋅ 3 x + d 0 d L - d 0 L 2 1 x + d 0 d L - d 0 L 6 = 0

x + d 0 d L - d 0 L 3 - x ⋅ 3 x + d 0 d L - d 0 L 2 = 0

Pondo em evidência:

x + d 0 d L - d 0 L 2 ⋅ x + d 0 d L - d 0 L - 3 x = 0

Chegamos em:

x + d 0 d L - d 0 L 2 ⋅ d 0 d L - d 0 L - 2 x = 0

Daqui temos duas opções:

  • x + d 0 d L - d 0 L 2 = 0 ⇒   x = - d 0 d L - d 0 L , o valor negativo não é possível!
  • d 0 d L - d 0 L - 2 x = 0 ⇒ x m a x = d 0 d L - d 0 ⋅ L 2   , vamos ficar com essa função

Então, vamos aplicar os valores:

x m a x = 300 300 - 12 ⋅ 900 2

x m a x = 468,75   m m

Passo 7

Vamos aplicar o valor de x m a x na equação da tensão:

σ x m a x = 32 P L 3 π d L - d 0 3 x m a x x m a x + d 0 d L - d 0 L 3

σ m a x = 32 P L 3 π d L - d 0 3 d 0 d L - d 0 ⋅ L 2 d 0 d L - d 0 ⋅ L 2 + d 0 d L - d 0 L 3

σ m a x = 32 P L 3 π d L - d 0 3 1 d 0 3 d L - d 0 3 3 2 L 3 ⋅ d 0 d L - d 0 ⋅ L 2

σ m a x = 128 P L 27 d L - d 0 π d 0 2

Aplicando os valores:

σ a d m = 128 ⋅ 750   N ⋅ 900 m m 27 ⋅ 300   m m - 12   m m ⋅ π ⋅ 12   m m 2

σ a d m = 24,56   M P a

Resposta

x m a x = 468,75   m m

σ a d m = 24,56   M P a

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