O volante de 50   k g tem um raio de giração k - = 0,4   m , em relação à linha central de seu eixo e está submetido ao torque M = 2 1 - e - 0,1 θ   N ∙ m , onde θ está em radianos. Se o volante está em repouso quando θ = 0 , determine a sua velocidade angular após cinco voltas.

Passo 1

O torque M vai realizar trabalho sobre o eixo do volante, e esse trabalho vai provocar uma variação na energia cinética dele:

W = Δ T

Começamos calculando o módulo desse trabalho, usando a definição dessa grandeza:

W = ∫ M   d θ

Como o volante dará cinco voltas sob ação dessa força, temos que integrar entre θ = 0 e θ = 5 2 π :

W = ∫ 0 10 π 2 1 - e - 0,1 θ θ

Vamos separar essa integral em duas partes:

∫ 0 10 π 2   d θ = 20 π

∫ 0 10 π - 2 e - 0,1 θ   d θ = 2 0,1 e - 0,1 θ 10 π 0 = 2 0,1 e - π - 1

Então:

W = 20 π + 2 0,1 e - π - 1 = 43,7   J

Passo 2

E qual será a velocidade angular do volante uma vez que toda essa energia tenha sido transferida para ele?

W = Δ T

W = 1 2 I - ω 2

O momento de inércia I - pode ser calculado a partir do raio de giração.

W = 1 2 m k 2 ω 2

ω = 2 W m k 2

Vamos substituir os valores numéricos:

ω = 2 43,7 50 0,4 2 = 3,31   r a d / s

Resposta

A velocidade angular será ω = 3,31   r a d / s .

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