Tensão Admissível
Teoria
Fala aí! Seja muito bem vindo ao Responde Aí! E aí, preparado para aprender TUDO sobre Tensão Admissível?
Antes de qualquer coisa, o que é Tensão Admissível?
Tensão admissível nada mais é que um valor limite de tensão estipulado para um material no projeto de peças.
-Hãm?!
Pra entender melhor, se liga nesse vídeo que o Responde Aí preparou pra você!
Ou continua comigo no textinho! 😁
Vamos começar definindo o que chamamos de tensão admissível!
Sendo:
e as tensões admissíveis cisalhante e normal, respectivamente; e as tensões de falha cisalhante e normal, respectivamente, e; e são o que chamamos de fator de segurança cisalhante e normal, respectivamente.
Como Calcular a Tensão Admissível?
Vamos pegar um exemplo bem do nosso cotidiano! Fones que arrebentam/quebram atoa! Quem nunca passou por isso? 🥲
Então, imagina que você foi contratado para projetar um fone de ouvido que não quebra com facilidade.
Como você vai fazer isso?!
Descobrimos que quando as pessoas usam fones de ouvido, elas tracionam o cabo deles com forças de até
Então temos que projetar o cabo principal do fone de ouvido para aguentar essa carga:
Vamos pensar... Têm duas formas que esse cabo pode falhar nessas condições:
- A tensão normal média
no cabo pode ultrapassar a tensão de falha do material , fazendo o cabo se romper ou se deformar irreversivelmente; - A tensão cisalhante média
na cola que segura o cabo em seu lugar pode ultrapassar a tensão cisalhante de falha da cola , fazendo a cola se soltar;
Então sabemos que para que o cabo não falhe, é necessário que:
Mas tem um problema: Não adianta só projetar o cabo para não falhar em condições de uso.
Se fizermos só isso, qualquer forcinha a mais vai danificar o cabo já que quando a força é de
Queremos projetar um cabo que nunca quebra. Um cabo que resiste forças muito maiores que
-Então como fazemos isso? Como projetamos peças para ficarem longe das tensões de falha? 🤔
Fator de Segurança
É ai que entra o Fator de Segurança!
A resposta está em dividir as tensões de falha
Por exemplo:
Se usarmos no nosso cabo um fator de segurança para tensão normal
Para atingir esse fator se segurança, precisamos:
- Adquirir um material com uma tensão de falha
vezes maior; - Ou dimensionar a peça para ter uma área transversal
vezes maior.
Fazer uma dessas mudanças custa dinheiro, mas é como um investimento em segurança: cargas imprevistas até 4 vezes maiores podem ser aplicadas sem fazer o cabo falhar.
Tensão Admissível e Método de Resolução de Exercícios
Então, resumindo! Quando fazemos essa divisão das tensões de falha pelos fatores de segurança, chamamos os resultados de tensões admissíveis
De tal forma que o projeto de peças é feito com as expressões:
Tendo tudo isso em mente, exercícios com tensão admissível ou fator de segurança vão sempre envolver os três passos à seguir:
- Calcular o valor das tensões admissíveis
e ; - Encontrar os valores máximos na peça das tensões normal
ou cisalhante ; - E, finalmente, aplicar as condições
e .
Agora, vamos praticar com exercícios?!
Upload em: 14/07/2022
Como Calcular a Tensão Admissível?
Exercícios Resolvidos
Exercício Resolvido #1
Lista 1 - Prof Rubens Hesse - IFSC - Joinville - Resistência dos Materiais - Exemplo 1
Calcular o diâmetro de um tirante que sustente, com segurança, a carga descrita no esquema abaixo. O material do tirante tem limite de escoamento a tração de .
Vamos utilizar como coeficiente de segurança.
Passo 1
O tirante está sendo tracionado por uma carga :
Nosso objetivo nesse exercício é calcular o diâmetro do tirante para que essa carga não gere uma tensão normal média maior que a tensão normal admissível :
Essa é a nossa condição de projeto.
Se calcularmos os valores de (em função do diâmetro do tirante) e de e substituirmos esses valores nessa expressão, poderemos isolar o diâmetro e descobrir o seu valor.
Para calcular a tensão normal média e a tensão normal admissível , vamos usar as suas fórmulas:
Do enunciado do exercício, sabemos que:
- O material do tirante falha por escoamento (se deforma irreversivelmente) quando a tensão normal no tirante atinge a tensão normal de falha ;
- E que deve ser usando um fator de segurança nesse projeto: .
Passo 2
Vamos começar calculando a tensão normal média :
Como o tirante está sob tração pura, a força normal interna vai ser igual à intensidade dessa tração.
Por outro lado, a área da seção transversal do tirante é calculada em função de seu diâmetro através da fórmula da área do círculo .
Substituindo esses valores na equação da tensão normal média, temos:
Como :
Passo 3
Agora, vamos calcular a tensão normal admissível :
Substituindo os valores e :
Passo 4
Aplicando a condição de projeto:
Substituindo os valores encontrados:
Queremos encontrar , então devemos isolá-lo:
Espelhando a expressão (para deixar ela mais fácil de visualizar) e fazendo a raiz quadrada dos dois lados:
Calculando a expressão à direita, isso dá:
Resposta
Exercício Resolvido #2
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 38,39-1.80.
O elemento está sujeito a uma força de compressão de . Se e forem feitos de madeira e tiverem de espessura, determine, com aproximação de , a menor dimensão do apoio de modo que a tensão de cisalhamento média não exceda .
Passo 1
O que está acontecendo?
A componente vertical da força de vai ser transmitida até o apoio em , gerando uma força cortante nesse apoio.
Para calcular essa força cortante , vamos ter que calcular o valor da componente vertical da força de e fazer uma análise de esforços internos na seção entre o apoio e o pedaço principal da peça :
Essa força cortante vai gerar uma tensão cisalhante média no apoio. A área da seção resistente à essa tensão pode ser calculada usando a espessura e a dimensão do apoio.
E o que é que o exercício quer?
O exercício quer que a gente encontre a tensão cisalhante média em função da dimensão do apoio, para que possamos aplicar a condição de projeto:
Substituído o valor de nessa expressão, vamos poder isolar e descobrir qual deve ser o seu valor mínimo, tendo em mente que o seu valor deve ser um múltiplo de .
Passo 2
Vamos começar então calculando o valor da componente vertical da força de ...
Se observarmos o triângulo de dimensões na figura do exercício:
E observarmos o triângulo formado pela decomposição da força de em uma componente horizontal e uma componente vertical :
Podemos fazer uma semelhança de triângulos para encontrar a componente vertical .
está para a dimensão assim como está para a dimensão :
Com isso, encontramos que:
O que significa que a componente vertical vai ser:
Com essa informação em mãos, agora podemos fazer a análise dos esforços internos no apoio:
Pelo equilíbrio de forças, temos que:
O que significa que:
Passo 3
O próximo passo é encontrar a tensão cisalhante média :
A área é a área da seção transversal do apoio onde avaliamos anteriormente os esforços internos:
Essa seção é retangular, de base e altura .
Isso significa que , de tal forma que:
Passo 4
encontrado, agora podemos aplicar a condição de projeto:
Substituindo o valor de :
Como queremos encontrar o valor de , devemos isolá-lo:
Espelhando a expressão (para que ela fique mais fácil de visualizar) e substituindo os valores de , e :
Antes de calcular isso, vamos tomar cuidado com as unidades!
Como , se reescrevermos a força de como , vamos estar trabalhando só com as unidades e , o que vai facilitar nossa vida:
Calculando a expressão da direita, isso dá:
Como deve ser dado em múltiplos de , então temos que o valor mínimo de de modo que a tensão cisalhante média não exceda é:
Resposta
Exercício Resolvido #3
James M. Gere, Mecânica dos materiais, 5ª ed. São Paulo: Pioneira Thomson Learning, 2003, pp. 44-1.7-4.
Um tubo de alumínio servindo de braço na fuselagem de um pequeno avião (veja a figura) é dimensionado para resistir uma força de compressão. O diâmetro externo do tubo é e a espessura da parede é . A tensão de escoamento para o alumínio é e a tensão última é .
Calcule a força de compressão admissível se os fatores de segurança em relação à tensão de escoamento e à tensão última são e , respectivamente.
Dica do Expert: A “tensão de escoamento” e a “tensão última” se referem a dois tipos de falha diferentes (deformação irreversível e ruptura, respectivamente) causados por tensão normal.
Vai importar para o cálculo de o tipo de falha que tiver a menor tensão normal admissível .
Passo 1
A figura do exercício nos confunde quando mostra a barra inclinada, mas isso não faz diferença! Se formos ler o enunciado, vemos que a única força nessa barra é a compressão.
Bom... O exercício quer saber qual é a força máxima de compressão que pode ser feita no tubo de forma a gerar uma tensão normal média que ainda satisfaz a condição:
Para resolver o exercício, precisamos encontrar (em função da força ) e . Substituindo esses dois valores na expressão acima, vamos poder isolar e descobrir qual é seu valor máximo.
Para encontrar a tensão normal média , vamos usar sua fórmula:
Como o tubo está sob compressão por uma força , então a força normal interna vai ser igual à .
A área da seção transversal do tubo, por sua vez, vai ser um pouco mais difícil de calcular. Ela vai ser a diferença entre a área de dois círculos, um de diâmetro e outro de diâmetro .
Do enunciado temos que e . Se chamarmos o diâmetro do círculo menor de , podemos já deixa-lo calculado:
Já para encontrar a tensão normal admissível , vamos calculá-la para os dois tipos de falha usando a fórmula:
A tensão admissível do projeto como um todo vai ser a menor tensão admissível entre os dois tipos de falha.
Isso porque se a gente garantir que a tensão não ultrapassa a menor tensão admissível, estamos garantindo também que ela não vai ultrapassar a maior tensão admissível.
Do enunciado, temos que:
- Para a falha por escoamento (deformação irreversível), e ;
- E para a falha por tensão última (ruptura), e .
Passo 2
Então vamos começar encontrando a tensão normal admissível .
Para a falha por escoamento/deformação irreversível, temos:
Substituindo os valores do enunciado:
E para a falha por tensão última/ruptura temos:
Substituindo os valores do enunciado:
Como é menor, essa vai ser a nossa tensão normal admissível:
Passo 3
Agora vamos encontrar a tensão normal média :
Como o tubo está só sob compressão por uma força de intensidade , então a força normal interna é igual à .
Quanto à área , ela é a diferença entre as áreas de dois círculos de diâmetro e :
Tirando em evidência:
Substituindo os valores encontrados na fórmula da tensão normal média:
Passo 4
Finalmente, aplicamos a condição de projeto:
Substituindo a expressão encontrada para no passo anterior:
Isolando :
Substituindo os valores , e :
Se calcularmos a expressão da direita e lembrarmos que , isso dá:
Esse número é um pouco grande, então podemos reescrevê-lo em para a resposta:
Resposta
Exercício Resolvido #4
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 39-1.81.
A junta está presa por dois parafusos. Determine o diâmetro exigido para os parafusos se a tensão de ruptura por cisalhamento para os parafusos for . Use um fator de segurança para cisalhamento .
Passo 1
O que está acontecendo?
Cada parafuso precisa transmitir metade da força total de .
Como eles estão sob cisalhamento duplo, então a força cortante interna neles vai ser igual a metade da força que eles precisam transmitir.
Isso significa que, no final das contas, a força cortante interna em cada parafuso é da força total de :
Fazer um desenho da análise de esforços internos nesses parafusos não é muito comum, mas se for preciso, pode ser feito assim:
Essa força cortante é responsável por gerar uma tensão cisalhante média nos parafusos.
O que é que o exercício quer?
O exercício quer saber qual o diâmetro dos parafusos para que essa força cortante em cada um deles não gere uma tensão cisalhante média acima de uma certa tensão admissível:
Sendo que essa tensão admissível é obtida dividindo a tensão de falha (nesse caso, a tensão de ruptura por cisalhamento ) pelo fator de segurança .
Podemos calcular dessa forma, e calcular em função do diâmetro dos parafusos.
Ao substituir esses valores na condição de projeto , vamos poder isolar o diâmetro e encontrar o seu valor mínimo.
Passo 2
Vamos começar definindo as tensões cisalhante média e cisalhante admissível.
A tensão cisalhante média em um parafuso é dada pela sua fórmula:
Podemos expressar a área da seção transversal de um parafuso como a área de um círculo em função de seu diâmetro: . Assim temos:
Já a tensão cisalhante admissível vai ser dada pela fórmula:
Passo 3
Aplicando a condição de projeto:
Substituindo as expressões encontradas:
Queremos encontrar , então devemos isolá-lo:
Espelhando essa expressão (para deixar ela mais fácil de visualizar) e fazendo a raiz quadrada dos dois lados:
Substituindo os valores , e :
Como , podemos reescrever a força de como para que o resultado final saia mais facilmente em :
Calculando a expressão da direita, isso dá:
Assim, o diâmetro exigido é:
Resposta
Exercício Resolvido #5
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 39-1.82.
As hastes e são feitas de aço cuja tensão de ruptura por tração é . Usando um fator de segurança para tração, determine o menor diâmetro das hastes de modo que elas possam suportar a carga mostrada. Considere que a viga está acoplada por pinos em e .
Passo 1
O que está acontecendo?
As hastes e estão suportando a viga , garantindo o seu equilíbrio.
Para saber a intensidade das forças de tração feitas pela viga nas hastes, e , precisamos fazer um diagrama de corpo livre da viga (como o da figura abaixo) e aplicar as equações de equilíbrio nela.
Essas forças de tração e vão gerar forças internas normais e nas hastes.
As forças normais, por sua vez, vão gerar uma tensão normal média em cada haste.
E o que é que o exercício quer?
O exercício quer saber quais são os diâmetros mínimos das hastes para que as trações e não gerem tensões normais médias nelas acima da tensão normal admissível :
Como sempre, a tensão admissível é calculada dividindo a tensão de falha (nesse caso, a tensão de ruptura ) pelo fator de segurança .
Podemos definir e aplicar a condição para as duas hastes de forma genérica. Ao final, devemos isolar o diâmetro e calcular o seu valor duas vezes, uma vez para cada haste.
Passo 2
Vamos começar pelo diagrama de corpo livre da viga:
Para encontrar e , precisamos usar as equações de equilíbrio.
Vamos pensar... Nesse caso, temos duas equações de equilíbrio que podemos utilizar: o equilíbrio de momentos e o equilíbrio de forças na vertical.
Começando pelo equilíbrio de momentos... Se fizermos ele em relação ao ponto , ele fica assim:
A força tem um braço de e gera um momento no sentido anti-horário, que vamos considerar como positivo.
Já as forças de , e tem braços de , e , respectivamente, e geram momentos no sentido horário, ou seja, momentos negativos.
Então o nosso somatório de momentos fica assim:
Somando todos os momentos negativos:
Isolando :
Seguindo com o equilíbrio de forças na vertical:
As forças e apontam para cima, enquanto as demais apontam para baixo, então:
Somando as forças negativas:
Isolando e substituindo :
Passo 3
Com as forças de tração determinadas, podemos prosseguir e definir as tensões normais médias nas hastes e :
As forças normais internas nas hastes são iguais às suas respectivas forças de tração .
Já as áreas das seções transversais das hastes devem ser calculadas a partir da área do círculo em função de seu diâmetro : .
Dessa forma, temos que para as duas hastes a tensão normal média é definida por:
Passo 4
Aplicando a condição de projeto:
Podemos substituir pela expressão encontrada no último passo e sabemos que . Dessa forma, temos que:
Como queremos encontrar , devemos isolá-lo:
Espelhando essa equação (para deixar ela mais fácil de visualizar) e fazendo a raiz quadrada dos dois lados:
Agora, o próximo passo é calcular o diâmetro duas vezes. Quando usarmos a força , vamos encontrar o diâmetro , e, quando usarmos , vamos encontrar .
Passo 5
Para a haste :
Substituindo os valores , e :
Como , podemos reescrever a força de como para que o resultado final do diâmetro saia diretamente em :
Calculando a expressão da direita, isso dá:
Para a haste :
Ao substituir os valores de , e , podemos dessa vez já substituir direto em newtons ():
Calculando a expressão da direita:
Resposta
Exercício Resolvido #6
Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 54-1.40.
O vínculo horizontal tem de espessura, uma largura e é feito de um aço que tem um limite de resistência à tração de . Qual é o coeficiente de segurança, se a estrutura mostrada for projetada para suportar uma carga ?
Passo 1
O que está acontencdo?
A força gera um momento na peça que tenta fazer a peça girar em volta do ponto .
Esse momento é equilibrado por um momento oposto gerado pela força que o vínculo faz na peça :
Como reação à essa força, a peça faz no vínculo uma força oposta de mesma intensidade .
O apoio em equilibra essa força, e o vínculo fica, no final das contas, sob uma tração de intensidade :
Essa tração gera no vínculo uma força interna normal que, por sua vez, gera nele uma tensão normal média .
O que precisamos fazer?
O exercício quer saber qual é o coeficiente/fator de segurança no vínculo.
O fator de segurança é a razão entre a tensão de falha e a tensão normal média , ou seja:
A tensão de falha nesse caso corresponde ao limite de resistência a tração de .
Então para encontrar , falta encontrar a tensão normal média .
Para tanto, podemos:
- Fazer um diagrama de corpo livre e aplicar as equações de equilíbrio na peça para encontrar a força normal em função da força ;
- E encontrar a área da seção transversal do vínculo multiplicando a sua espessura pela sua largura .
Passo 2
Começando pelo diagrama de corpo livre de :
Diagrama de corpo livre feito, agora queremos usar as equações de equilíbrio para relacionar a força , desconhecida, com a força , conhecida.
A única equação de equilíbrio que vai nos permitir fazer isso sem ter que calcular as forças e vai ser o equilíbrio de momentos em relação ao ponto :
Agora vamos pensar...
A força vai gerar um momento no sentido anti-horário, que vamos considerar como positivo ().
Sendo assim, o momento no sentido horário causado pela força vai ficar negativo ().
O braço de vai ser calculado multiplicando a distância de por , enquanto que o braço de vai ser calculado multiplicando a distância de por :
Com tudo isso em mente, o nosso equilíbrio de momentos em relação ao ponto fica assim:
Isolando :
Ok, vamos calcular isso daí...
dividido por dá .
Já dividido por dá:
Então fica assim:
Simplificando:
Pronto, encontramos em função de !
Isso significa que também encontramos a força normal no vínculo em função de , já que :
Passo 3
Com a força normal no vínculo encontrada, podemos agora calcular a tensão normal média :
A área da seção transversal do vínculo é calculada multiplicando a sua espessura pela sua largura . E para a força normal podemos usar a expressão encontrada no passo anterior.
Sendo assim, temos:
Passo 4
Finalmente, podemos fazer o cálculo do fator de segurança :
Substituindo a expressão encontrada para a tensão normal média no último passo:
Passando o “” para cima:
Substituindo os valores , , e :
Agora, calma...
Temos que prestar atenção nas unidades!
Vamos juntar elas em um canto só:
O fator de segurança não tem unidade, então queremos que todas as unidades nessa equação se cortem.
Se reescrevermos como e reescrevermos a força de como , vamos poder cortar todas as unidades:
Cortando as unidades, sobra só os números:
Calculando, isso dá:
Resposta
Exercício Resolvido #7
Russell Charles Hibbeler, Resistência dos Materiais, 7ª ed. São Paulo: Pearson Prentice Hall, 2010, pp. 42-1.102.
Determine a intensidade da carga distribuída máxima que pode ser suportada pelo conjunto de pendural de modo a não ultrapassar uma tensão de cisalhamento admissível de nos parafusos de de diâmetro em e e uma tensão de tração admissível de na haste de de diâmetro.
Passo 1
O equilíbrio da viga, quando ela está submetida à força distribuída , se dá através:
- De uma força transmitida pela haste ao longo de seu comprimento;
- E das forças de reação vertical e horizontal no apoio em .
Como mostra o diagrama de corpo livre da viga:
E a haste? O que acontece com ela?
Quando a haste transmite essa força desde o apoio em até a viga em , ela acaba tendo que resistir a essa força de duas formas:
1. Os parafusos em e tem que transmitir a força em condição de cisalhamento duplo:
Se lembrarmos de quando estudamos cisalhamento duplo, vamos nos lembrar que isso significa que a força cortante nos parafusos é igual a metade da força transmitida:
Essa força cortante vai gerar uma tensão cisalhante média nos parafusos que não pode ultrapassar a tensão de cisalhamento admissível .
2. A haste é tracionada pela força , o que gera nela uma força normal , o que gera uma tensão normal média que não pode ultrapassar a tensão normal admissível .
Os diâmetros fornecidos e vão ser úteis para que a gente possa calcular as áreas das seções transversais dos parafusos e da haste.
E o que é que o exercício quer?
Ele quer saber qual é o valor máximo da carga distribuída tal que as condições:
ainda sejam satisfeitas.
A partir de um certo valor, a força vai gerar tensões maiores que as tensões admissíveis.
O que nós vamos fazer é aplicar essas duas condições acima para encontrar qual é o valor máximo permitido de .
A partir do valor máximo permitido de , vamos aplicar as equações de equilíbrio na viga para encontrar qual é o valor de correspondente.
Passo 2
Vamos começar então calculando os valores máximos permitidos para .
1. Para a tensão cisalhante média nos parafusos, temos:
Usando a fórmula da tensão cisalhante média isso fica:
A área da seção transversal dos parafusos pode ser calculada em função do diâmetro usando a fórmula .
Além disso, os parafusos estão sob cisalhamento duplo por uma força . Isso significa que a força cortante é igual à metade de .
Usando tudo isso, a expressão anterior fica assim:
Isolando :
Substituindo e :
Como , o resultado desse cálculo vai sair em . Fazendo o cálculo, isso dá:
2. E agora para a tensão normal média na haste:
Usando a fórmula da tensão normal média :
A haste está sob uma tração de intensidade , então . Além disso, podemos calcular a área da seção transversal da haste a partir de seu diâmetro . Dessa forma, temos:
Isolando :
Substituindo e :
Mais uma vez, , o que significa que o nosso resultado sai em newtons ():
Comparando os dois valores máximos permitidos para :
- para a falha dos parafusos por cisalhamento;
- E para a falha da haste por tensão normal.
vemos que o menor valor permitido é:
Passo 3
Agora que temos o valor máximo permitido para , precisamos achar o valor correspondente de .
Para fazer isso, vamos observar diagrama de corpo livre da viga:
Podemos usar as equações de equilíbrio para encontrar em função de .
A equação de equilíbrio que nos permite fazer isso mais facilmente vai ser o equilíbrio de momentos em relação ao ponto :
As únicas forças que geram momentos em relação a esse ponto são a força distribuída e a força .
Vamos fazer uma pausa para analisar esses momentos...
Se você souber calcular esses momentos, pode pular essa pausa. É só procurar pelo “Voltando para o equilíbrio de momentos...” um pouco abaixo! :)
Quanto a força :
A força vai gerar um momento no sentido anti-horário () e vai ter um braço de , como mostra a figura abaixo:
Quanto a força distribuída :
Lembra aí!
Quando aprendemos forças distribuídas, vimos que a resultante de uma força distribuída uniforme age bem no meio da região onde a força distribuída está.
Além disso, a intensidade dessa resultante é igual a intensidade da força distribuída (, nesse caso) vezes o comprimento em que ela atua (, nesse caso).
Dessa forma, o momento gerado por vai ser igual a intensidade da resultante vezes o braço de .
Além disso, o momento gerado por vai estar no sentido horário ().
Voltando para o equilíbrio de momentos...
Tendo tudo o que vimos em mente, o equilíbrio de momentos fica assim:
Isolando :
Calculando, isso dá:
Passo 4
Agora podemos juntar a expressão que acabamos de achar:
Com o valor máximo permitido para , :
Arrumando as unidades, fica assim:
Calculando, isso dá:
Esse resultado é um pouco grande, então podemos reescrevê-lo em :
Resposta
Exercício Resolvido #8
Prova 1 - 2008.1 - Prof. Roberto - Resistência dos Materiais 1 - UFRJ
Um cordão flexível de comprimento total , sendo a distância horizontal entre os suportes, é amarrado nos suportes e situados em elevações diferentes. Uma carga está pendurada em uma pequena roldana que rola ao longo do cordão, sem atrito, até chegar à posição de equilíbrio em .
Sabendo que a carga de ruptura do cordão é e se deseja um coeficiente de segurança , calcular a carga admissível .
Passo 1
O que está acontecendo com a roldana?
Se a gente se lembrar de quando estudamos polias e roldanas lá em física, vamos nos lembrar que quando um cordão é tracionado, a força de tração é igual em todos os pontos do cordão.
Isso significa que a força no ponto está sendo equilibrada por duas forças de tração iguais:
A gente pode afirmar que os ângulos dessas duas forças são iguais, como está desenhado na figura, porque isso é necessário para que as componentes horizontais das duas forças se cancelem.
E com o cordão?
Bom, o exercício disse que o cordão rompe quando a tração nele atinge a carga de ruptura .
Mas não é a carga máxima permitida no cordão.
Na realidade, como se deseja um coeficiente/fator de segurança , a carga máxima permitida no cordão, que vamos chamar de tração admissível , vai ser dada por:
E o que é que o exercício quer?
O exercício quer saber a carga admissível , que vai ser a carga na roldana que gera no cordão a tração máxima permitida .
A gente consegue relacionar com usando o equilíbrio de forças, mas, para fazer isso, vamos precisar saber o valor de para podermos calcular o valor da componente vertical das trações.
Para encontrar esse , vamos ter que usar um pouco de geometria e as informações de que:
- é a distância entre os suportes;
- E é o comprimento total do cordão.
Passo 2
Vamos começar tentando descobrir o valor de , já que esse é provavelmente o maior desafio do exercício.
Bom... O ângulo que as forças de tração fazem com a horizontal é o próprio ângulo que o cordão faz com a horizontal.
Então podemos adicionar esses ângulos ao desenho do enunciado:
Agora, vamos chamar a distância entre e de “”, a distância entre e de “”, o comprimento do cordão entre e de “” e o comprimento do cordão entre e de “”:
Com isso, podemos perceber que:
Mas se também percebermos que e que , isso fica:
Mas é o próprio comprimento total do cordão:
E como o enunciado disse que :
Isolando o cosseno, temos que:
Calculando, isso dá:
E, por fim, usando que , encontramos que:
Passo 3
Com encontrado, agora podemos partir para relacionar a carga com a tração .
Mais especificamente, queremos relacionar a carga admissível (que é o que queremos encontrar) com a tração admissível (que vimos no primeiro passo que é igual a ).
Para fazer isso, fazemos um diagrama de corpo livre do ponto :
E, em seguida, aplicamos o equilíbrio de forças.
Como nos interessa encontrar , que está na vertical, fazemos o equilíbrio de forças na vertical:
Na vertical, temos apontando para baixo e as componentes verticais das duas trações , que são calculadas multiplicando pelo seno de , apontando para cima.
Então o nosso equilíbrio de forças fica assim:
Isolando :
Substituindo e :
Calculando , chegamos ao resultado:
Resposta
Exercício Resolvido #9
Ferdinand P. Beer et al., Mecânica dos materiais, 5ª ed. Porto Alegre: AMGH, 2011, pp. 62-1.67.
Uma chapa de de espessura está encaixada em um bloco de concreto e é utilizada para ancorar um cabo vertical de alta resistência, conforme mostra a figura. O diâmetro do furo na chapa é de , o limite de resistência do aço utilizado é e o limite da tensão de aderência entre a chapa e o concreto é .
Sabendo que se deseja um coeficiente de segurança de quando , determine () a largura necessária para a chapa e () a dimensão mínima com que a placa deve ser encaixada no bloco de concreto. (Despreze a tensão normal entre o concreto e a extremidade inferior da placa.)
Passo 1
O que está acontecendo?
Esse conjunto pode falhar, fazendo o bloco de concreto se soltar, de duas formas:
1. A tensão normal média na chapa de aço pode superar o limite .
Sobre essa tensão normal média na chapa, podemos observar duas coisas:
- Ela é causada basicamente pela tração realizada pela força , de tal forma que a força normal interna na chapa é igual à ;
- E ela é maior na seção transversal da chapa que é mais reduzida pelo furo de diâmetro , já que essa seção vai possuir a menor área para resistir à força normal .
2. Ou o conjunto pode falhar se a tensão cisalhante média entre as superfícies da chapa e do concreto superar o limite .
Quanto a essa tensão cisalhante média , podemos observar:
- Que ela é distribuída ao longo da área das laterais da chapa submersas no bloco de concreto;
- Que dessas laterais tem dimensões e tem dimensões , em que é a espessura de da chapa;
- E que, para manter o equilíbrio da chapa de aço, essa tensão tem que corresponder a uma força cortante resultante igual à força :
E o que é que o exercício quer?
Ele quer saber quais são as dimensões mínimas e para que sejam satisfeitas as condições de projeto:
Sendo que as tensões admissíveis e não são as tensões de falha e , mas sim essas tensões divididas pelo fator de segurança :
Passo 2
Vamos começar calculando as tensões admissíveis para a tensão normal na chapa e para a tensão cisalhante de aderência entre a chapa e o concreto:
Substituindo , e :
Calculando, isso dá:
Passo 3
Tensões admissíveis calculadas, agora podemos aplicar as condições de projeto .
Começando pela tensão normal na chapa de aço:
Usando a fórmula da tensão normal média :
Bom, nos interessa avaliar a seção crítica da chapa: a seção onde a tensão normal média é maior.
Como vimos anteriormente, essa seção crítica é a seção mais ocupada pelo furo de diâmetro , que é a menor seção transversal em toda a chapa:
Como para o equilíbrio interno da chapa, a força normal interna deve ser igual a e como nessa seção crítica, a área é de , a equação anterior fica assim:
Queremos descobrir o valor necessário para a dimensão , então devemos isolar ela.
Passando a parte que está dividindo para o outro lado, temos:
Dividindo tudo por :
Terminando de isolar :
Do enunciado, temos que , e .
Além disso, encontramos que .
Substituindo esses valores, temos:
Calculando, isso dá:
Encontrado o valor necessário para a dimensão !
Passo 4
Para encontrar o valor necessário para a dimensão , vamos partir para a próxima condição de projeto, referente a tensão cisalhante de aderência entre os materiais:
Usando a fórmula da tensão cisalhante média :
Como vimos, as superfícies onde essa aderência age são as laterais da chapa submersas no concreto:
Substituindo a força cortante e a área de aderência , nossa equação anterior fica assim:
Queremos encontrar o valor necessário para a dimensão , então precisamos isolá-la.
Deixando em evidência:
Multiplicando os dois lados por :
Espelhando a equação e dividindo os dois lados por :
Do enunciado, temos que e .
Além disso, encontramos que e que .
Substituindo esses valores, temos:
Calculando, isso dá:
Ou seja, esse é o valor mínimo necessário para a dimensão .
Resposta
(a) ;
(b) .
Exercício Resolvido #10
Elaboração própria
Uma barra está submetida aos esforços mostrados. Se a tensão máxima admissível para essa barra for de 500Mpa com um fator de segurança de 1,47 determine o máximo valor de raio que a barra pode ter sem que haja rompimento.
Passo 1
Nesse caso sabemos que se trata de uma questão que envolve fator de segurança e tensão. Sabemos que a fórmula que relaciona essas tensões são
Pelo enunciado já sabemos que
Mas precisamos determinar a nossa , onde ocorre a falha.
Passo 2
Pra determinar a tensão máxima precisamos fazer o seguinte
A tensão normal sabemos que é calculada pelo carregamento mostrado
A área calculamos por
Substituindo teremos que
Passo 3
Agora que já temos tudo que precisamos vamos substituir na nossa fórmula principal
Substituindo na fórmula principal teremos que
Trocando as posições teremos que
Isolando o raio