Uma base com de espessura de uma panela com de diâmetro pode ser feita de alumínio () ou cobre (). Quando utilizada para ferver água, a superfície em contato com a água fervendo no fundo encontra-se nominalmente a . Se o calor é transferido a partir do fogão para a panela a uma taxa de , qual a temperatura da superfície em contato com o fogo para cada um dos materiais?
Passo 1
A ideia aqui é a seguinte, galerinha: o fogo está transferindo calor para a base da panela a uma taxa de , esse calor é então transferido por condução através da base da panela e, por último, esse mesmo calor é transferido para a água.
O problema nos deu as condutividades térmicas pra cada material, nos deu o diâmetro da base da panela, e nos disse que a temperatura na superfície que está em contato com a água vale .
Show de bola! Temos tudo o que precisamos pra calcular a temperatura da superfície em contato com o fogo para cada material.
Passo 2
Com a gente já discutiu, o mecanismo aqui nessa situação que é responsável pela transferência de energia é a condução! Então, utilizando a equação de Fourier, temos:
Como estamos tratando de um problema de placa plana, podemos escrever a Le ide Fourier da seguinte forma:
O fluxo de calor está relacionado à taxa de transferência de calor da seguinte forma:
Para que o calor seja transferido de baixo pra cima (no sentido positivo de ), é necessário que a temperatura na superfície em contato com o fogo seja maior que a temperatura da superfície em contato com a água .
Dessa forma, podemos escrever a Lei de Fourier da seguinte maneira:
Reorganizando essa equação podemos escrever que a temperatura da superfície em contato com o fogo será dada por:
Estamos com a faca e o queijo na mão! Agora é partir pro abraço!
Passo 3
Alumínio:
Onde:
Substituindo os valores:
Passo 4
Cobre:
Onde:
Substituindo os valores:
Note que a temperatura da superfície externa da panela é ligeiramente maior para o Alumínio, mas em ambos os casos a temperatura da superfície interna equivale a . Isso significa dizer que ambos materiais são muito bons condutores, pois quase não há diferença de temperatura entre a superfície interna e externa.