UnB – Cálculo 2 – Lista de Fixação – Questão 2c
Determine a solução geral das equações diferenciais não homogênea
Passo 1
Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?
O problema nos dá essa equação diferencial ordinária não homogênea com coeficientes constantes
A solução desse tipo de equação é a soma da solução da equação diferencial homogênea associada (parte em que fazemos do lado direito) com a solução da não homogênea
Para resolver a parte homogênea vamos montar a nossa equação característica: só trocar a derivada por um polinômio de mesma ordem e com os mesmos coeficientes, assim
A ideia aqui é resolver essa equação, encontrando suas raízes: (polinômio de terceira ordem). E agora?
Com as raízes é só montar nossa solução!
Beleza? Para a parte não homogênea, vamos supor solução do mesmo tipo! No nosso caso . Com essa solução vamos substituir na equação e achar quem é esse !
Como é um problema indefinido, vamos deixar nossa solução homogênea em termos das constantes mesmo!
Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!
Vamos começar?
Passo 2
Precisamos resolver a homogênea associada
Aqui você pode resolver do jeito que achar melhor! Testando os divisores do termo independente, descobrimos que é raiz, então fatorando temos
E agora aplicar báskara para determinar as outras raizes:
Nossa solução é complexa, então a solução associada é
Tudo bem até aqui? A solução da parte homogênea fica assim
Bora pra parte não homogênea?
Passo 3
Beleza? Nosso passo final é achar a solução da equação associada não homogênea!
Vamos supor solução do tipo
Derivando e substituindo na equação temos
Temos
Dividindo tudo por
Beleza? Aí nossa solução da parte não homogênea é
Por fim vamos agrupar todas as soluções!
Resgatando nosso resultado do passo anterior:
E é isso! Espero ter ajudado!
E é isso! Espero ter ajudado!