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Exercícios Resolvidos de Método de Eliminação – Caso Homogêneo

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Exercício 312456

Enunciado

Determine a solução do sistema abaixo usando o método da eliminação

x ' = 2 x + y y ' = x + 2 y

Passo 1

A primeira coisa a fazer é isolar uma das variáveis. Vamos isolar y na primeira equação

y = x ' - 2 x

Agora vamos derivar implicitamente

y ' = x ' ' - 2 x '

Passo 2

O próximo passo é substituir y ' e y na segunda equação

x ' ' - 2 x ' = x + 2 x ' - 2 x

x ' ' - 2 x ' = x + 2 x ' - 4 x

x ' ' - 4 x ' + 3 x = 0

Passo 3

Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar

r 2 - 4 r + 3 = 0

r 1 = 1

r 2 = 3

Esse é o caso onde Δ > 0 então a solução vai ser

x t = C 1 e t + C 2 e 3 t

Passo 4

Agora temos que encontrar y

y = x ' - 2 x

y t = C 1 e t + C 2 e 3 t ' - 2 C 1 e t + C 2 e 3 t

y t = C 1 e t + 3 C 2 e 3 t - 2 C 1 e t - 2 C 2 e 3 t

y t = - C 1 e t + C 2 e 3 t

Resposta

x t = C 1 e t + C 2 e 3 t

y t = - C 1 e t + C 2 e 3 t