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Exercícios Resolvidos de Método de Eliminação – Caso Homogêneo

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Exercício 512346

Enunciado

Determine a solução do sistema abaixo usando o método da eliminação

x ' = - x + 3 y y ' = 2 y

Passo 1

Vamos começar isolando uma das variáveis. Vamos isolar y na primeira equação

y = x ' 3 + x 3

Agora vamos derivar implicitamente

y ' = x ' ' 3 + x ' 3

Passo 2

O próximo passo é substituir y ' e y na segunda equação

x ' ' 3 + x ' 3 = 2 x ' 3 + x 3

x ' ' 3 + x ' 3 = 2 x ' 3 + 2 x 3

x ' ' - x ' - 2 x = 0

Passo 3

Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar

r 2 - r - 2 = 0

r 1 = 2

r 2 = - 1

Esse é o caso onde Δ > 0 então a solução vai ser

x t = C 1 e 2 t + C 2 e - t

Passo 4

Agora temos que encontrar y

y = x ' 3 + x 3

y t = C 1 e 2 t + C 2 e - t ' 3 + C 1 e 2 t + C 2 e - t 3

y t = 2 C 1 e 2 t 3 - C 2 e - t 3 + C 1 e 2 t 3 + C 2 e - t 3

y t = C 1 e 2 t

Resposta

x t = C 1 e 2 t + C 2 e - t

y t = C 1 e 2 t