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Exercícios Resolvidos de Método de Eliminação – Caso Homogêneo

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Exercício 213456

Enunciado

Encontre a solução do problema de valor inicial dado.

x '   = x - 5 y y ' = x - 3 y

Com

x 0 = 1   e   y 0 = 1

Passo 1

Vamos usar o método da eliminação aqui.

A primeira coisa a fazer é isolar uma das variáveis. Vamos isolar x na segunda equação

x = y ' + 3 y

Agora vamos derivar implicitamente

x ' = y ' ' + 3 y '

Passo 2

O próximo passo é substituir x ' e x na primeira equação

y ' ' + 3 y ' = y ' + 3 y - 5 y

y ' ' + 3 y ' - y ' - 3 y + 5 y = 0

y ' ' + 2 y ' + 2 y = 0

Passo 3

Resolvendo essa EDO vamos ter a seguinte equação auxiliar

r 2 + 2 r + 2 = 0

Vamos ter

Δ = 2 2 - 4.2 = 4 - 8 = - 4 < 0

As soluções da equação vão ser

r 1 = - 2 + 4 i 2 = - 2 + 2 i 2 = - 1 + i

r 2 = - 2 - 4 i 2 = - 2 - 2 i 2 = - 1 - i

A solução vai ser

y t = e - t C 1 cos ⁡ t + C 2 sen ⁡ t

Passo 4

Agora temos que encontrar x

x = y ' + 3 y

x t = e - t C 1 cos ⁡ t + C 2 sen ⁡ t ' + 3 e - t C 1 cos ⁡ t + C 2 sen ⁡ t

x t = - e - t C 1 cos ⁡ t + C 2 sen ⁡ t + e - t - C 1 sen ⁡ t + C 2 cos ⁡ t + e - t 3 C 1 cos ⁡ t + 3 C 2 sen ⁡ t

x t = e - t - C 1 + C 2 + 3 C 1 cos ⁡ t + - C 2 - C 1 + 3 C 2 sen ⁡ t

x t = e - t 2 C 1 + C 2 cos ⁡ t + - C 1 + 2 C 2 sen ⁡ t

Passo 5

Vamos agora aplicar os valores iniciais

y 0 = e - 0 C 1 cos ⁡ 0 + C 2 sen ⁡ 0 = C 1 = 1

x 0 = e - 0 2 C 1 + C 2 cos ⁡ 0 + - C 1 + 2 C 2 sen ⁡ 0 = 2 C 1 + C 2 = 1

Vamos ter

C 1 = 1

2.1 + C 2 = 1 ⇒ C 2 = - 1

Passo 6

As funções vão ser

y t = e - t 1 cos ⁡ t - 1 sen ⁡ t = e - t cos ⁡ t - sen ⁡ t

x t = e - t 2 - 1 cos ⁡ t + - 1 + 2 - 1 sen ⁡ t = e - t cos ⁡ t - 3 sen ⁡ t

Resposta

x t = e - t cos ⁡ t - 3 sen ⁡ t

y t = e - t cos ⁡ t - sen ⁡ t