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Exercícios Resolvidos de Mínimos Quadrados - Caso discreto e contínuo

Ver Teoria
Exercício 31245

Enunciado

Encontre a reta que melhor se aproxima do polinômio f x = 4 x 3 em   [ 0,1 ] .

Passo 1

Para encontrar a reta que melhor se aproxima do polinômio, fazemos considerações iniciais:

g 1 x = x

g 2 x = 1

A reta que irá se aproximar melhor do polinômio é:

φ x = a 1 x + a 2 = a 1 g 1 ( x ) + a 2 g 2 ( x )

Passo 2

Aqui, montaremos a nossa matriz e sistemas de equações partindo das integrais no intervalo dado:

a 11 = < g 1 , g 1 > = ∫ a b x 2 d x = 1 3 x 3 0 1 = 1 3

a 1 2 = a 21 = < g 1 , g 2 > = ∫ a b x d x = 1 2 x 2 0 1 = 1 2

a 22 = < g 2 , g 2 > = ∫ a b 1 d x = x 0 1 = 1

b 1 = < f , g 1 > = ∫ a b 4 x 4 d x = 4 5 x 5 0 1 = 4 5

b 2 = < f , g 2 > = ∫ a b 4 x 3 d x = x 4 0 1 = 1

Passo 3

A partir desses dados, montamos o sisteminha de equações:

1 / 3 1 / 2 1 / 2 1 x y = 4 / 5 1

Resolvendo o sistema, ficamos com:

x = 18 / 5

y =   - 4 / 5

Resposta

O polinômio interpolador é:

φ x = 18 5 x - 4 5

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