Resolva o sistema de oscilações

Temos:

Então, pela segunda lei de Newton, a força resultante é dada pela soma de todas as forças atuantes:

Porém:

Temos:

Que equivale a:

Ajeitando:

Vamos usar o seguinte:

Então a EDO fica:

E como é que a gente resolve?

Quando temos uma EDO de 2ª ordem homogênea, resolvemos a equação auxiliar:

Assim:

Onde

Viu porque ele substituiu por Nego não ta de zoeira não! Cortou muita coisa

E então temos três possibilidades:

Em cada caso, temos uma solução diferente, lembra?

Então vamos analisar cada uma dessas possibilidades agora.

Mas antes vamos dar nome aos bois, mas relaxa com isso, é só para você entender o que tá acontecendo, esse tipo de nomenclatura não é cobrado na sua prova!

Quando : amortecimento subcrítico;

Quando : amortecimento crítico;

Quando : amortecimento supercrítico;

É só você lembrar que “sub” significa “abaixo” (abaixo de zero) e “super” significa “acima” (acima de zero).

Beleza?

Então vamos lá!

Nesse caso:

Então a equação auxiliar tem duas raízes reais e distintas:

E a solução é dada por:

As constantes e são dadas pelas condições iniciais de e .

O gráfico do amortecimento supercrítico tem essa cara(Só por curiosidade):

Uma soma de exponenciais decrescentes.

Nesse caso:

Então a equação auxiliar tem duas raízes reais e iguais:

E a solução é dada por:

Ou, se preferir colocar em evidência:

As constantes e também são dadas pelas condições iniciais de e .

E o gráfico do amortecimento crítico tem mais ou menos a mesma cara do amortecimento supercrítico(Isso é só por curiosidade!):

Nesse caso:

Então a equação auxiliar tem duas raízes imaginárias:

E a solução é dada por:

As constantes e são sempre dadas pelas condições iniciais de e .

E o gráfico do amortecimento subcrítico tem uma cara assim(Só por curiosidade again!!):

Nesse caso, o movimento é oscilatório, mas as amplitudes vão sendo cada vez menores, até parar.