Exercícios Resolvidos de Modelos fluídicos

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Enunciado

A seguite reação elementar irreversível ocorre em um reator CSTR mostrado abaixo:

A velocidade de consumo do regente A é dada por:

r A = - k C A t

O conteúdo do reator está perfeitamente misturadao e a temperatura, o volume e a densiadade da mistura reagida podem ser consideradas constantes. A vazão de entrada, q , também é constante.

Encontre a função de transferência A ( s ) / A i s . Onde A e A i são as variáveis desvio de C A e C A i .

Passo 1

Começando pelo balanço material para o componente A :

A c ú m u l o = E n t r a - S a i + G e r a d o - { C o n s u m i d o }

O componente A é um reagente do processo, logo ele é consumido e nada é gerado, a expressão do balanço fica:

A c ú m u l o = E n t r a - S a i - { C o n s u m i d o }

Vamos escrever cada parcela do balanço separadamente:

A c ú m u l o = d n A d t = d V C A d t = V d C A d t

E n t r a = n ˙ A = C A i ( t ) q

Como o tanque está bem misturado, a concentração da saída é igual à do próprio tanque, e como volume é constante, a vazão de entrada é igual à de saída:

S a i = C A ( t ) q

A taxa dado é em base volumétrica, logo, precisamos multiplica-la pelo volume do tanque:

C o n s u m i d o = V k C A t

Juntando tudo:

V d C A d t = C A i t q - C A t q - V k C A t

Passo 2

O nosso modelo matemático já está pronto, entretanto, o exercício pede a função de transferência o que significa que precisamos trabalhar um pouquinho mais em cima da nossa EDO.

Reorganizando a EDO:

V d C A ( t ) d t + q + V k C A t = q C A i t               ( 1 )

Devemos então aplicar a transformada de Laplace na expressão, mas antes, devemos sempre alicar as variáveis desvio na EDO.

Vamos reescrever toda a equação ( 1 ) com suas funções de tempo no estado estacionário ( t = 0 ) e vamos representar isso com uma barra sobre a variável:

V d C A - d t + q + V k C A - = q C A i -                 ( 2 )

Fazendo 1 - ( 2 ) :

V d C A t - C A - d t + q + V k C A t - C A - = q C A i t - C A i -         ( 3 )

Definindo as variáveis desvio e substituindo em ( 3 ) , teremos:

A ( t ) = C A t - C A -

A i ( t ) = C A i t - C A i -

V d A ( t ) d t + q + V k A ( t ) = q A i ( t )                 ( 2 )

Nesse caso a nossa EDO não mudou muito, porque se trata de uma EDO homogênea. Entretanto, mesmo quando estamos trabalhando com EDO’s Homogêneas, é bom aplicar as variáveis desvio.

Passo 3

Agora que já aplicamos as variáveis desvio, já podemos usar transformada de Laplace na nossa EDO:

V s A s + q + V k A s = q A i ( s )

Transformadas de Laplace é um tópico muito importante e para achar fuções de transferência ele é primordial. Caso você não se lembre como alicar essa operação, seria uma boa ideia dar uma revisada nesse conteúdo.

Prosseguindo: vamos colocar A ( s ) em evidência:

V s + q + V k A s = q A i ( s )

Por fim, a função de transferência A ( s )

A s A i s = q A i s q + V k + V s

Resposta

A s A i s = q q + V k + V s