Considere um reator químico adiabático, exotérmico, perfeitamente misturado onde ocorre a reação . Considere:
- densidade dos reagentes e produtos, , constante.
- fluxo de corrente de entrada e saída, , constante.
- temperatura de entrada, .
- temperatura do reator, .
- calor da reação, constante e ngativo, .
- Capacidades caloríficas (constantes), .
- Volume do líquido no reservatório, constante, .
A cinética para a reação é expressa pela seguinte expressão de ordem zero:
Onde:
fator de frequência, .
energia de ativação, .
constnate dos gases ideais, .
Determine a função de transferência para o reator.
Passo 1
Além de todas as considerações que o enunciado já fez para a gente, vamos considerar também que o sistema se encontra a parâmetros concentrados e que não existe nenhum tipo de perda de energia.
Dito isso, vamos partir para o famoso balanço de energia.
Nesse exercício nós temos uma corrente de entrada, uma corrente de saída e ainda por cima também temos uma geração de energia, isso porque acontece uma reação exotérmica no reator.
Vamos escrever as expressões para cada um dos termos acima:
Para expressar a energia gerada pela reação devemos multiplicar a entalpia da reação, pela taxa e também pelo volume do reator. Logo:
Juntando tudo:
Passo 2
OPA, OPA, OPA. ALERTA DE PROBLEMA!
A nossa EDO ficou com um termo que não é linear. O que a gente faz quando isso acontece? Isso mesmo, lineariza hahaha.
O termo não linear éo termo relativo à energia da reação. Sendo assim, a nossa função que precisará ser linearizada é:
Para linearizar, nós utilizamos a linearização de Taylor:
Logo:
Subsituindo na nossa expressão:
Passo 3
Estamos progredindo, mas a nossa EDO ainda tá muito bagunçada. Vamos aplicar variáveis desvio para tentar melhorar as coisas para o nosso lado:
Vamos reescrever a expressão colocando todas as suas variáveis no estado inicial (e vamos representar essas variáveis com a barra):
Perceba que o último termo se anula porque ficamos com .
Fazendo :
Vamos definir então nossas variáveis desvio:
Finalmente:
Passo 4
Quase lá!!
Vamos dar uma organizada nessa EDO passando tudo que tem para o lado esquerdo:
Colocando em evidência:
Para facilitar o nosso lado, vamos definir novas constantes que agrupem todas essas constantes:
Ficamos então com
Bem melhor né?
Passo 5
Para achar a função de transferência agora, só nos resta aplicar Laplace.
Aplicando Laplace na expressão
Colocando em evidência:
Logo a função de transferência será:
Com:
Resposta
Com: