Exercícios Resolvidos de Modelos térmicos

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Enunciado

Um reator agitado completamente isolado com dois compartimentos é mostrado na figura abaixo. A ideia básica é alimentar os reagente continuamente no primeiro compartimento, onde eles serão preaquecidos pela energia liberada na reação exotérmica, que é esperado que se ocorra principalmente no segundo compartimento. A parede entre os dois compartimentos é consideravelmente fina, permitindo a troca térmica; o reator pode ser considerado perfeitamente isolado; e existe uma serpentina de resfriamento no segundo compartimento para remover o excesso de energia liberada na reação. Ambos os tanques estão completamente cheios o tempo todo.

Inicialmente serão realizados alguns testes com alimentação de um único componente (sem reação) para avaliar as características térmicas do reator.

Desenvolva o modelo matemático para esse processo sob as condições de nenhuma reação. Assuma que f 0 , T i e T C podem variar.

Passo 1

O exercício pede o modelo matemático que descreve o processo, isso quer dizer que ele quer as EDO’s que mostram como a temperatura varia no tanque. Como temos dois compartimentos precisaremos de duas EDO’s.

Começando pelo começo. Balanço de energia para o primeiro compartimento:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i + G e r a d a - { C o n s u m i d a }

O enunciado pediu para considerarmos que não existe nenhuma reação, logo, o balanço de massa para o primeiro compartimento fica:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i

Nós temos uma corrente entrando e uma corrente saindo do primeiro compartimento e além disso ainda temos troca térmica por convencção com o segundo compartimento.

A quantidade de calor trocada por convecção será:

q = U A ( T 2 - T 1 )

Onde A é a área da parede que divide os dois compartimentos e U é o coeficiente de troca térmica global por convecção do material da parede.

O nosso balanço tá assim por enquanto:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a 1 = f 0 t ρ c p T i t - f 1 ( t ) ρ c p T 1 ( t ) + U A T 2 t - T 1 t

Porém, o enunciado diz que ambos os compartimentos estão sempre cheio, isso quer dizer que as vazões são sempre iguais. Portanto:

f 0 ( t ) = f 1 ( t ) = f ( t )

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a 1 = f t ρ c p T i t - f ( t ) ρ c p T 1 ( t ) + U A T 2 t - T 1 t

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a 1 = f t ρ c p T i t - T 1 t + U A T 2 t - T 1 t

Mas como:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a 1 = d U 1 ( t ) d t = m 1 c p d T 1 ( t ) d t = ρ V 1 c p d T 1 ( t ) d t

Juntando tudo:

ρ V 1 c p d T 1 ( t ) d t = f t ρ c p T i t - T 1 t + U A T 2 t - T 1 t

Ou:

d T 1 ( t ) d t = f t V 1 T i t - T 1 t + U A ρ V 1 c p T 2 t - T 1 t

Passo 2

Agora podemos partir para o segundo compartimento.

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i + G e r a d a - { C o n s u m i d a }

O segundo compartimento, assim como o primeiro, também não possui reação química. Portanto:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a = E n t r a - S a i

No segundo compartimento além as entrada e saída de energia através das correntes, e da troca térmica por convecção pela parede com o primeiro compartimento, também teremos troca térmica por convecção com a serpentina.

O calor trocado com a serpentina será:

q c = U C A C T 2 t - T C t

Onde A C é a área de troca térmica da serpentina e U C é o coeficiente de troca térmica global por convecção do material da serpentina.

Portanto, nosso balanço ficará:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a 2 = f 1 t ρ c p T 1 t - f 2 t ρ c p T 2 t - U A T 2 t - T 1 t - U C A C T 2 t - T C t

Mas assim como no primeiro compartimento, o segundo compartimento permanece cehio o tempo todo, o que indica que a vazão de entra é igual a vazão de saída.

f 1 ( t ) = f 2 ( t ) = f ( t )

Sendo assim:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a 2 = f t ρ c p T 1 t - T 2 t - U A T 2 t - T 1 t - U C A C T 2 t - T C t

Por fim:

A c ú m u l o   d e   e n e r g i a 2 = d U 2 ( t ) d t = m 2 c p d T 2 ( t ) d t = ρ V 2 c p d T 2 ( t ) d t

Juntando tudo:

ρ V 2 c p d T 2 ( t ) d t = f t ρ c p [ T 1 t - T 2 t ] - U A T 2 t - T 1 t - U C A C T 2 t - T C t

Ou:

d T 2 ( t ) d t = f t V 2 [ T 1 t - T 2 t ] - U A ρ V 2 c p T 2 t - T 1 t - U C A C ρ V 2 c p T 2 t - T C t

Resposta

d T 1 ( t ) d t = f t V 1 T i t - T 1 t + U A ρ V 1 c p T 2 t - T 1 t

d T 2 ( t ) d t = f t V 2 [ T 1 t - T 2 t ] - U A ρ V 2 c p T 2 t - T 1 t - U C A C ρ V 2 c p T 2 t - T C t