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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 10.Exercícios - Ex. 43

10-43. Considere o teste de hipóteses contra. Suponha que os tamanhos de amostra sejam n, - 15 e n. = 15 c que. Use a - 0.05.

a) Teste a hipótese e explique como o teste poderia ser conduzido com

um intervalo de confiança para

b) Qual sera a potencia do teste no ilem (a) se o, for duas vezes maior

que ?

c) Considerando tamanhos iguais de amostras, quc tamanho de amos-

tra deveria ser usado para obter 0,05 se fosse metade de er ?

Passo 1

Oi oi gente,

Vamos lá fazer mais uma questão passo a passo?

Vem comigo!

Nós consideramos o teste de hipótese

H 0 : σ 1 2 = σ 2 2

Contra

H 1 : σ 1 2 ≠ σ 2 2

Nós sabemos que os tamanhos de amostra

n 1 = n 2 = 15

e variações de amostra são:

s 1 2 = 2.3  e  s 2 2 = 1.9

Assumimos que ambas as populações têm distribuição normal e são independentes.

Passo 2

Letra a:

Para este teste, a estatística de teste é

f 0 = s 1 2 s 2 2 = 2.3 1.9 = 1.21

Como n 1 - 1 = n 2 - 1 = 14  e  α = 0.05 vamos rejeitar H 0 se

f 0 > f α / 2 , n 1 - 1 , n 2 - 1  ou  se  f 0 < f 1 - a / 2 , n 1 - 1 , n 2 - 1                                 ( 1 )

onde f 0 / 2 , n 1 - 1 , n 2 - 1  e  f 1 - α / 2 , n 1 - 1 , n 2 - 1 são os pontos percentuais superior e inferior da distribuição F com n 2 - 1 numerador e n 1 - 1 denominador dos graus de liberdade.

Portanto, do Apêndice Tabela VI, obtemos

f α / 2 , n 1 - 1 , n 2 - 1 = f 0.025,14,14 = 2.989

Para determinar o valor exato, vamos usar algum programa do computador.

Os pontos percentuais de cauda inferior f 1 - a / 2 , n 1 - 1 , n 2 - 1 podem ser encontrados da seguinte forma

f 1 - a / 2 , n 1 - 1 , n 2 - 1 = f 1 - 0.025,14,14 = 1 f 0.025,14,14 = 1 2.989 = 0.336

Como

f 0 = 1.21 < 2.989 = f 0.025,14,14 f 0 = 1.21 > 0.336 = f 1 - 0.025,14,14

e da Equação (1) não podemos rejeitar a hipótese nula H 0 : σ 2 1 = σ 2 2 , ao nível de significância de 0.05.

Um intervalo de confiança de 100 ( 1 - α ) % na relação σ 2 1 / σ 2 2 é

f 1 - α / 2 , n 1 - 1 , n 2 - 1 s 1 2 s 2 2 ≤ σ 1 2 σ 2 2 ≤ f a 2 n 1 - 1 , n 2 - 1 s 1 2 s 2 2                     ( 2 )

Então, da Equação (2), um IC 95% é

0.336 2.3 1.9 ≤ σ 1 2 σ 5 2 ≤ 2.989 2.3 1.9

0.4 ≤ σ 1 2 σ 2 2 ≤ 3.6

Como este intervalo de confiança inclui t 0 = 1.21 , não podemos afirmar que os desvios-padrão para os dois processos são diferentes no nível de confiança 95 %

Passo 3

Letra b:

A Tabela do Apêndice VIIb fornece curvas características de operação para o teste F para α = 0.05 , assumindo que n 1 = n 2 = 15 . Eles traçam β contra o parâmetro de abscissa

λ = σ 1 σ 2

Sabemos que σ 1 é duas vezes maior que σ 2 . Portanto

λ = 2

Agora, na Tabela VIIo do Apêndice, obtemos β = 0.35 (veja a próxima figura, linha vermelha). Então, a potência deste teste é

1 - β = 0.65

Passo 4

Letra c:

Sabemos que β = 0.05 e σ 2 é a metade de σ 1 , então λ = 2 . Agora, a partir da tabela do Apêndice VIIo, sabemos (ver figura anterior, linha verde) que o tamanho da amostra é

n 1 = n 2 = n = 31

Resposta

  1. Como este intervalo de confiança inclui t 0 = 1.21 , não podemos afirmar que os desvios-padrão para os dois processos são diferentes no nível de confiança 95 %
  2. 1 - β = 0.65
  3. n 1 = n 2 = n = 31
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