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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Probabilidade Um Curso Introdutório - Dantas- Ed: 3º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 19

Seja ( X , Y ) um ponto aleatório no plano ( n o   R 2 ) . Supondo que as coordenadas cartesianas do ponto X e Y são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal padrão, determine a densidade conjunta das coordenadas polares deste ponto.

Passo 1

Falaaaaa rapaziada tudo blz?

Nessa questão do livro de probabilidade do Dantas seja ( X , Y ) um ponto aleatório no plano ( n o   R 2 ) . Supondo que as coordenadas cartesianas do ponto X e Y são variáveis aleatórias independentes com distribuição normal padrão, determine a densidade conjunta das coordenadas polares deste ponto.

Precisa ficar assim não meus abençoados conforme você for vendo os passos vai perceber que ela é de boa.

Passo 2

Então galerinha para determinarmos que a densidade conjunta dado as coordenadas cartesianas definida por,

R = x 2 + y 2 ,   c o m   θ = arctan ⁡ y x

Temos,

E a x + b = a . E x + b

Ficando,

∑ i = 1 a x + b p x x = a E x + b

Com isso temos,

∑ a E x + b = x 2 + y 2

Logo,

∑ a E x + b = x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2  

Sendo em radianos,

x = r . cos ⁡ θ       e     y = r . sin ⁡ θ

Ficando,

( r . cos 2 ⁡ θ ) + r . sin ⁡ θ 2 = 1

Logo,

x 2 + y 2 = 1

Espero que eu tenha ajudado e te vejo no próximo desafio.

Até a próxima.

Resposta

x 2 + y 2 = 1

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