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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 8.Exercícios - Ex. 91

8-91.Um artigo em The Engineer-"Redesign for Suspect Wiring". junho de 1990)reportou os resultados de uma investigacao sobre erros relativos ao cabeamento em aeronaves comereiais de passageiros.que podem produzir informacoes defcituosas a tripulaco.Tal erro relativo ao cabcamento pode ter sido responsavel pelo desastre de um aviao da British Midland Airwavs.em janciro de 1989,fazendo com que o pilo to desligasse o motor errado.De 1600 avioes selecionadosalcatonamcn- te.oito tinham erros relativos ao cabeamento que poderam mostrar intormacao incorreta a tripulacao.

（a)Encontre um intervalo de confianca de 99% para a proporcao de aeronaves quc tenham tais erros relativos ao cabeamento.

（b)Suponha quc usemoxinformacao neste cxempln,de mxlo a fornecer uma estimativa preliminar dep.Quao grande a amostra sena para produzir uma estimativa de p diferente do valor verdadeiro por no maximo 0.008,de modo a nos deixar 99% confiantes

（c)Suponha quie nao tivessemos uma estimaliva preliminar dep.Quao grande a amostra seria se quisessemos estar no minimo 999 confiantesde que a proporgao amostral seria difcrente do valor verdadeiro por no maximo0.008.independentemente do valor verdadeiro de p?

（d)Comente sobre a utilidade da informacao preliminar para o calculo do tamanho necessario da amostra.

Passo 1

Se p ^ é a proporção de observações em uma amostra aleatória de tamanho n que pertence a uma classe de interesse, um valor aproximado 100 ( 1 - α ) % (intervalo de confiança de na proporção p   da população que pertence a esta classe é

p ^ - z α 2 p ^ 1 - p ^ n ≤ p ≤ p ^ + z α 2 p ^ 1 - p ^ n                                     ( 1 )

onde z α 2 é o ponto percentual α 2 superior da distribuição normal padrão.

Esse procedimento depende da adequação da aproximação normal ao binomial. Para ser razoavelmente conservador, isso exige que n p e n ( 1 - p ) sejam maiores ou iguais a 5. Em situações em que essa aproximação é inadequada, principalmente nos casos em que n é pequeno, outros métodos devem ser usados.

A estimativa pontual da proporção da população p   é

p ^ = x n = 8 1600 = 0.005                                     ( 2 )

e

n p = 1600 × 0.005 = 8 > 5 n ( 1 - p ) = 1600 × ( 1 - 0.005 ) = 1592 > 5

Passo 2

Letra a:

Para intervalo de confiança bilateral de 99%.

α 2 = 1 - 0.99 2 = 0.005

e

z α 2 = 2.58

Portanto, as equações frontais (1) e (2) um IC bilateral de 99% é:

0.005 - 2.58 0.005 ( 1 - 0.005 ) 1600 ≤ p ≤ 0.005 + 2.58 0.005 ( 1 - 0.005 ) 1600

Simplificando, temos:

0.00045 ≤ p ≤ 0.00955

O tamanho da amostra para um erro especificado em uma proporção binomial é

n = z α E 2 p 1 - p                             ( 1 )

Passo 3

Letra b:

O erro em estimar o valor verdadeiro de p   é:

E = 0.008

do que da Equação (1), obtemos

n = 2.58 0.008 2 0.005 ( 1 - 0.005 )

Portanto, o tamanho da amostra é

n = 518

Temos 100 ( 1 - α ) % de confiança de que o erro na estimativa de p por p ^ é menor que E se o tamanho da amostra for

n = z α E 2 0.25                                   ( 2 )

Passo 4

Letra c:

Nós sabemos que o erro na estimativa do valor verdadeiro de p é E = 0.008 e z α 2 = 2.58 , então, da Equação (2), obtemos

n = 2.58 0.008 2 0.25

Portanto, o tamanho da amostra é

n = 26002

Passo 5

Letra d:

Das partes b) e c) concluímos que é muito importante conhecermos as informações preliminares, porque quando conhecemos as informações preliminares obtemos uma estimativa precisa para n   (partes (b)).

Resposta

  1. 0.00045 ≤ p ≤ 0.00955
  2. n = 518
  3. n = 26002
  4. Ver solução
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