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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 83

Considere a distribuição log-normal, com função de

densidade dada na Seção 6.9. Suponha que temos uma

amostra xl9x,, ..., X{ de uma distribuição log-normal.

(a) Escreva a função de verossimilhança.

(b) Desenvolva os estimadores de máxima verossimilhança de n e cr2

Passo 1

Saaaalve, tranquilo? Vamos lá resolver mais uma questão juntos?! 😊

Uma amostra aleatória de x 1 , x 2 , … , x n observação de uma distribuição de Weibull é selecionada com parâmetros α e β . A função densidade é escrita como:

f ( x ) = α β x β - 1 e - α x β , x > 0 0 ,   todo lugar  

Para α > 0 e β > 0 .

Passo 2

(a)A função verossimilhança é escrita da seguinte forma:

L   = ∏ i = 1 n     f x i ; α , β   = ∏ i = 1 n     α β x i β - 1 e - α x i β   = ( α β ) n ∏ i = 1 n     x i β - 1 e - α x i β =   ( α β ) n ∏ i = 1 n     x i β - 1 e - α ∑ i = 1 n     x β … … ( 1 )

Assim, a função de verossimilhança é

L x i ; α , β = ( α β ) n ∏ i = 1 n     x i β - 1 e - α ∑ i = 1 n     x i β

Passo 3

(b) O conjunto de equações que, quando resolvidas, fornecem os estimadores de máxima verossimilhança de α e β são derivadas da seguinte forma:Tome log em ambos os lados da expressão (1),

l o g ⁡ L   = l o g ⁡ ( α β ) ' ' ∏ i = 1 n     x i β - 1 e - α ∑ i = 1 n     x β   = l o g ⁡ ( α β ) n + l o g ⁡ ∏ i = 1 n     x i β - 1 + l o g ⁡ e - α ∑ i = 1 n     x i β   = n [ l o g ⁡ α + l o g ⁡ β ] + ( β - 1 ) ∑ i = 1 n     l o g ⁡ x i - α ∑ i = 1 n     x i β

Agora, diferenciar parcialmente (2) em relação α e igualá-lo igual a 0 , ou seja,

∂ l o g ⁡ L ∂ α = 0   ⇒ ∂ ∂ α n [ l o g ⁡ α + l o g ⁡ β ] + ( β - 1 ) ∑ i = 1 n     l o g ⁡ x i - α ∑ i = 1 n     x i β = 0   ⇒ n ∂ ∂ α l o g ⁡ α - ∂ ∂ α α ∑ i = 1 n     x i β = 0   ⇒ n α - ∑ i = 1 n     x i β = 0   ⇒ n - α ∑ i = 1 n     x i β = 0 … . .  (3) 

Agora, diferenciar parcialmente (2) em relação β e igualá-lo igual a 0 , ou seja,

∂ l o g ⁡ L ∂ β = 0   ⇒ ∂ ∂ β n [ l o g ⁡ α + l o g ⁡ β ] + ( β - 1 ) ∑ i = 1 n     l o g ⁡ x i - α ∑ i = 1 n     x i β = 0   ⇒ n ∂ ∂ β l o g ⁡ β + ∂ ∂ α β ∑ i = 1 n     l o g ⁡ x i - ∑ i = 1 n     l o g ⁡ x i - ∂ ∂ α α ∑ i = 1 n     x i β = 0   ⇒ n β + ∑ i = 1 n     l o g ⁡ x i - α ∑ i = 1 n     x i β l o g ⁡ x i = 0 n β + ∑ i = 1 n     l o g ⁡ x i - α ∑ i = 1 n     x i β l o g ⁡ x i = 0 n + β ∑ i = 1 n     l o g ⁡ x i - α β ∑ i = 1 n     x i β l o g ⁡ x i = 0 . . . ( 4 )

Assim, as estimativas de máxima ( α ˆ , β ) verossimilhança são soluções das seguintes equações: n - α ∑ i = 1 n   x i β = 0 , e

n + β ∑ i = 1 n   l o g ⁡ x i - α β ∑ i = 1 n   x i β l o g ⁡ x i = 0

Essas equações também podem ser escritas de forma diferente.

Passo 4

As equações são escritas da seguinte forma:

α ˆ = n ∑ i = 1 n     x i β ˆ . . . ( 5 )

colocar (5) em (4),

n + β ∑ i = 1 n     l o g ⁡ x i - α β ∑ i = 1 n     x i β l o g ⁡ x i = 0   ⇒ n + β ∑ i = 1 n     l o g ⁡ x i - n ∑ i = 1 n     x i β l o g ⁡ x i ∑ i = 1 n     x i j = 0   ⇒ n + β ∑ i = 1 n     l o g ⁡ x i = n ∑ i = 1 n     x i β l o g ⁡ x i ∑ i = 1 n     x i β ˙

Assim, as estimativas ( α ˆ , β ˆ ) de máxima ( α , β ) verossimilhança de são soluções das seguintes equações:

α ˆ = n ∑ i = 1 n     x i β … … ( 6 )

E

n + β ∑ i = 1 n   l o g ⁡ x i = n ∑ i = 1 n     x i β l o g ⁡ x i ∑ i = 1 n     x i β ˙ . . . ( 7 )

Resposta

Resposta nos passos.

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