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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Magalhães e Lima - Noções de Probabilidade de Estatística - Ed: 6º - Capítulo 8.2 - Ex. 1

Uma variável aleátoria tem distribuição Normal e desvio padrão igual a 12. Estamos testando se sua média é igual ou é diferente de 20 e coletamos uma amostra de 100 valores dessa variável, obtendo uma média amostral de 17,4 .

  1. Formule as hipóteses.
  2. Obtenha a região crítica e dê a conclusão do teste para os seguintes níveis de significância: 1 % ,   2 % ,   4 % ,   6 %     e     8 % .

Passo 1

Bom, antes de mais nada, temos uma vari��vel aleátoria X qualquer, com distribuição normal.

Repare que o enunciado nos deu um valor para a variância populacional, então devemos usar a seguinte aproximação:

Z = X - - μ σ 2 n ~ N ( 0,1 )

Beleza; agora o próprio enunciado nos responde a alternativa A; iremos testar o seguinte:

H 0 :   μ = 20         c o n t r a         H 1 : μ ≠ 20

Passo 2

Top show! Feito isso, precisamos agora definir a região crítica com α igual aquelas porcentagem tudo lá; pensa num cara indeciso. Total Disneycessário.

Mas em qualquer caso teremos:

R C = z 0 ∈ R   z 0 < - z α 2     o u     z 0 > z α 2 }  

E para obter z α 2 , precisamos perceber que: P Z > z α 2 = α 2 . Portanto:

P 0 ≤ Z ≤ z α 2 = 0,5 - α 2

Pois cada metade o gráfico vale 0,5 .

Então, para cada caso:

  1. α = 1 %

    2. R C = z 0 < - z 0,005     o u     z > z 0,005

    Teremos:

    P 0 ≤ Z ≤ z 0,005 = 0,5 - 0,005 = 0,495

    OBS: caso a sua dificuldade seja localizar na tabela; na resposta vou mostrar todos os valores circulados.

    Basta buscar na tabela o valor correspondente à essa probabilidade, encontramos z 0,005 = 2,57 . E região crítica fica assim então:

    R C = z 0 < - 2,57     o u   z 0 > 2,57

    Realizando o teste sob H 0 (Sempre sob ele):

    z 0 = 17,4 - 20 1,2 = - 2,167

    Como z 0 não pertence à RC; NÃO rejeitamos a hipótese nula. (aceitamos H 0 ).

  2. α = 2 %

    3. Só repeteco:

    R C = z 0 < - z 0,01   o u   z 0 > z 0,01

    Sabendo:

    P 0 ≤ Z < z 0,01 = 0,5 - 0,01 = 0,49

    Portanto nossa RC:

    R C = z 0 < - 2,32     o u     z 0 > 2,32

    E o teste sob H 0 :

    z 0 = - 2,167

    Novamente, não pertence à RC; NÃO rejeitamos H 0 .

    Passo 3

  3. α = 4 %

    4. R C = z 0 < - z 0,02   o u   z 0 > z 0,02

    Onde:

    P 0 ≤ Z ≤ z 0,02 = 0,5 - 0,02 = 0,48

    Portanto:

    R C = z 0 < - 2,05     o u     z 0 > 2,05

    Como: z 0 = - 2,167

    Dessa vez, z 0 ∈ R C , portanto devemos REJEITAR H 0 .

  4. α = 6 %

    5. Ficou chato já!

    R C = z 0 - z 0,03   o u   z 0 > z 0,03  

    Onde:

    P 0 ≤ Z ≤ z 0,03 = 0,5 - 0,03 = 0,47

    Buscando na tabela, z 0,03 = 1,88

    Portanto:

    R C = z 0 < - 1,88   o u   z 0 > 1,88

    Como z 0 = - 2,167

    Mais uma vez vamos rejeitar a hipótese nula.

    Finalmente!!

  5. α = 8 %

R C = z 0 < - z 0,04   o u   z 0 > z 0,04

Sabendo que:

P 0 ≤ Z ≤ z 0,04 = 0,5 - 0,04 = 0,46

Nossa Rc será:

R C = z 0 < - 1,75     o u     z 0 > 1,75

Simplesmente rejeitamos mais uma vez a hipótese nula (ninguém liga mais).

Resposta

Concluindo essa joça:

  1. H 0 :   μ = 20         c o n t r a         H 1 : μ ≠ 20

α = 1 %   :     R C = z 0 < - 2,57     o u   z 0 > 2,57 ; A c e i t a m o s   H 0 .

α = 2 %   :   R C = z 0 < - 2,32     o u     z 0 > 2,32 ; A c e i t o   H 0 .

α = 4 %   : R C = z 0 < - 2,05     o u     z 0 > 2,05 ; R e j e i t a m o s   H 0 .

α = 6 %   :   R C = z 0 < - 1,88   o u   z 0 > 1,88 ; R e j e i t a m o s   H 0 .

α = 8 %   : R C = z 0 < - 1,75     o u     z 0 > 1,75 ; R e j e i t o   c o m   m u i t a   r a i v a   H 0 .

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