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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 66

9-66. Considere o teste de hipóteses. Aproxime o valor P para cada uma das seguintes estatísticas de teste.

x 0 2 = 25,2   e   n = 20 x 0 ' = 15.2   e   n = 12 x 0 2 = 2.3,0   e   n = 15

Passo 1

Oi oi gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui de um jeito bem passo a passo pra facilitar a vida de todo mundo!Boraaa

Suponha que desejamos testar a hipótese de que a variância de uma população normal σ 2 é igual a σ 2 0 . Seja X 1 , X 2 , . . . X n   uma amostra aleatória de uma observação desta população. Para testar

H 0 : σ 2 = σ 0 2 ,  contra  H 1 : σ 2 > σ 0 2

vamos usar a estatística de teste:

χ 0 2 = n - 1 S 2 σ 0 2                     1

A estatística de teste χ 2 0 definida na Equação (1) segue a distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, se a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 é verdadeira. Para realizar um teste de nível de significância fixo, pegaríamos uma amostra aleatória da população de interesse e calcularíamos χ 2 0 , que é o valor da estatística de teste χ 2 0 e a hipótese nula H 0 : σ 2 = σ 2 0 seria rejeitada se:

χ 0 2 > χ α 2 , n - 1 2 ,  ou se  χ 0 2 < χ 1 - a 2 , n - 1 2                 2

onde χ 2 α 2 , n - 1 e χ 2 1 - α 2 , n - 1 são os 100 α / 2 pontos percentuais superior e inferior da distribuição qui-quadrado com n - 1 graus de liberdade, respectivamente.

Além disso, esses pontos representam os valores críticos para a estatística de teste χ 2 0 .

O valor P para um teste de cauda inferior seria encontrado como a área (probabilidade) na cauda inferior da distribuição do qui-quadrado à esquerda (ou abaixo) do valor calculado da estatística de teste χ 2 0 . Para a alternativa de dois lados, encontre a área da cauda associada ao valor calculado da estatística de teste e duplique-a para obter o valor P.

Portanto, o valor P para este teste é:

v a l o r   P = P χ 0 2 > χ 1 - α , n - 1 2             2

Consideramos o teste de H 0 : σ 2 = 7 , contra H 1 : σ 2 ≠ 7 .

Passo 2

Letra a:

Sabemos que o valor da estatística de teste é χ 2 0 = 25.2 e o tamanho da amostra n = 20 .

Da Equação (2) obtemos:

valor P  = 2 P χ α , n - 1 2 > 25.2  . 

Agora, da Tabela IV do Apêndice nós sabemos

P χ α 2 , 19 2 > 18.34 = 0.5 P χ α 2 , 19 2 > 27.20 = 0.1

Então,

                                              P χ α 2 , 19 2 > 27.20 < P χ α 2 , 19 2 > 25.2 < P χ α 2 , 19 2 > 18.34 0.1 < P χ α 2 , 19 2 > 25.2 < 0.5

Portanto, o valor P é:

2 × 0.1 <  valor P  < 2 × 0.5

0.2 < v a l o r   P < 1 .

Passo 3

Letra b:

Sabemos que o valor da estatística de teste é χ 2 0 = 15.2 e o tamanho da amostra n = 12 .

Da Equação (2) obtemos:

valor p  = 2 P χ α 2 , n - 1 2 > 15.2

Agora, da Tabela IV do Apêndice nós sabemos

P χ a 2 , 11 2 > 10.34 = 0.5 P χ α 2 , 11 2 > 17.28 = 0.1

Então,

P χ α 2 , 11 2 > 17.28 < P χ α 2 , 11 2 > 15.2 < P χ α 2 , 11 2 > 10.34 0.1 < P χ α 2 , 11 2 > 15.2 < 0.5

Portanto, o valor P é:

2 × 0.1 <  valor P  < 2 × 0.5

0.2 < v a l o r   P < 1

Passo 4

Letra c:

Sabemos que o valor da estatística de teste é χ 2 0 = 23 e o tamanho da amostra n = 15 .

Da Equação (2) obtemos:

valor P  = 2 P χ a 2 , n - 1 2 > 23

Agora, da Tabela IV do Apêndice nós sabemos

P χ α 2 , 14 2 > 21.06 = 0.1 P χ α 2 , 14 2 > 23.68 = 0.05

Então,

P χ α 2 , 14 2 > 23.68 < P χ α 2 , 14 2 > 23 < P χ α 2 , 14 2 > 21.06 0.05 < P χ α 2 , 14 2 > 25.2 < 0.1

Portanto, o valor P é:

2 × 0.05 <  valor P  < 2 × 0.1

0.1 < valor p  < 0.2

Resposta

  1. 0.2 < v a l o r   P < 1
  2. 0.2 < v a l o r   P < 1
  3. 0.1 < v a l o r   P < 0.2
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