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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Montgomery - Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros- Ed: 4º - Capítulo 9.Exercícios - Ex. 82

9-82. Um artigo na Fortune (21 de setembro de 1992) afirma que apro-

ximadamente metade de tonlos os engenheiros continua seus estudos

académicos além do grau de bacharelado. recebendo no final o grau de

mestre ou doutor. Dados de um artigo emn Engineering Horizons ipri-

mavera de 19901 indicou que 117 de 484 novos engenheiros graduados

estavam plancjando tazer uma pis-graduação.

(a) Os dados da Engincering Horicons são consistentes com a afirma-

ção reportada pela Fortune? Uvea - 0,05 para alcançar as suas con-

clusoes. Encontre o valor P para o teste.

(b) Discuta como a questão do item(a) pxxleria ser respondida pela cons-

trução de um intervalo bilateral de confiança para p

Passo 1

Oi oi gente, tudo bom com vocês?

Vamos fazer essa questão aqui de um jeito bem passo a passo pra facilitar a vida de todo mundo!Boraaa

Suponha que uma amostra aleatória de tamanho n   tenha sido obtida de uma grande população e que X observações nesta amostra pertençam a uma classe de interesse. Então

P ^ = X n                       ( 1 )

é um estimador pontual da proporção da população p . Se p   não estiver muito próximo de 0 ou 1 e se n for relativamente grande, a distribuição amostral de P é aproximadamente normal com média p e variância p ( 1 - p ) / n . Para aplicar esta aproximação, exigimos que n p e n ( 1 - p ) sejam maiores ou iguais a 5.

Consideraremos testar:

H 0 : p = p 0

Contra

H 0 : p ≠ p 0

Para testar H 0 , calcule a estatística de teste

Z 0 = X - n p 0 n p 0 1 - p 0                 ( 2 )

é aproximadamente normal padrão e determina o valor P. Como a estatística de teste segue uma distribuição normal padrão se H 0 for verdadeiro, o valor P é

valor P  = 2 P 1 - Φ z 0                 ( 3 )

Dados de um artigo da Engineering Horizons indicaram que x = 117 de n = 484 novos graduados em engenharia planejavam fazer pós-graduação.

Passo 2

Letra a:

Consideramos o teste de

H 0 : p = 0.5

Contra

H 1 : p ≠ 0.5

Da Equação (1) a amostra p

p ^ = 117 484 = 0.24

O valor Z que obtemos da Equação (2) é

z 0 = 117 - 484 × 0.5 484 × 0.5 ( 1 - 0.5 ) = - 11.36

Agora, da Tabela III do Apêndice, obtemos

α 0.025 / 2 = α 0.025 = - 1.96

Então

z 0 = - 11.36 < - 1.96 = α 0.025

Então, concluímos que rejeitamos H 0 .

Agora, da Equação (3), o valor P para este teste é

valor P  = 2 P ( 1 - Φ ( 11.36 ) ) = 0  . 

Passo 3

Letra b:

Um intervalo de confiança bilateral é

p ^ - z α 2 p ^ 1 - p ^ n ≤ p ≤ p ^ + z q 2 p - 1 - p ^ n 0.24 - 1.96 0.24 1 - 0.24 484 ≤ p ≤ 0.24 + 1.96 0.24 1 - 0.24 484 0.203 ≤ p ≤ 0.279

O valor 0.5 não pertence ao I C ( 0.203 ,   0.279 ) , então rejeitamos H 0 .

Resposta

  1. Nós rejeitamos H 0 , porque z 0 =   - 11.36 <   - 1.96 = α 0.025 .
  2. 0.203 ≤ p ≤ 0.279
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