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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Walpole - Probabilidade e Estatística para Engenharia e Ciências- Ed: 8º - Capítulo 6.Exercícios - Ex. 11

Um advogado viaja diariamente de sua casa nos subúrbios até o escritório no centro da cidade. O tempo médio da viagem de ida é de 24 minutos, com desvio padrão de 3,8 minutos. Assuma que seus tempos de viagem sejam distribuídos normalmente.

(a) Qual é a probabilidade de que uma viagem leve pelo menos de meia hora?

(b) Se o escritório abre às 9h e ele sai de sua casa às 8h45, qual é a porcentagem do tempo em que ele estará atrasado para o trabalho?

(c) Se ele sai de casa às 8h35 e o café é servido no escritório entre 8h50 e 9h, qual é a probabilidade de ele perder o café?

(d) Determine o tempo acima do qual encontramos os 15% menores tempos de viagem.

(e) Determine a probabilidade de que duas das próximas três viagens levarão pelo menos 30 minutos.

Passo 1

Fala galera, beleza? Vamos resolver um exercício? Vem comigo!

Primeiro, vamos enunciar alguns dados que o exercício nos dá.

Usaremos nossa variável aleatória X sendo o tempo de viagem em minutos.

μ = 24   m i n u t o s   e   σ = 3,8   m i n u t o s

Show! Agora, vamos ao item a)

Nesse item, queremos P ( X > 30 )

Usaremos a relação entre Z   e   X .

Z = X - μ σ

Para X = 30 , temos:

Z = 30 - 24 3,8 = 1,58

Portanto, calcular P X > 30 é P X > 30 = P Z > 1,58 = 0,0571

equivalente a calcular P Z > 1,58

Além disso,

P Z > 1,58 = 1 - P Z < 1,58 = 1 - 0,9429 = 0,0571

Logo, P X > 30 = P Z > 1,58 = 0,0571 .

Vamos aproveitar o embalo e calcular o item b)

Vamos relacionar X   e   Z .

Para X = 15 , temos:

Z = 15 - 24 3,8 = - 2,37

Desse modo calcular P ( X > 15 ) é equivalente a calcular P ( Z > - 2,37 )

Usando o complementar, temos:

P Z > - 2,37 = 1 - P Z < - 2,37 = 1 - 0,0089 = 0,9911

Logo, ele estará atrasado em 99,11 % do tempo.

Passo 2

Agora vamos ao item c)

Para ele perder o café, tem de chegar depois das 9h. Logo estamos interessados no caso em que X > 25 .

Vamos relacionar X   e   Z .

Para X = 25 , temos:

Z = 25 - 24 3,8 = 0,26

Logo calcular P X > 25   é equivalente a calcular P Z > 0,26

Usando o complementar, temos:

P Z > 0,26 = 1 - P Z < 0,26 = 1 - 0,6026 = 0,3974

Ou seja,

P X > 25 = P Z > 0,26 = 0,3974

Vamos ao item d)

Estamos interessados em um determinado valor k , onde a partir dele temos os 15% menores tempos de viagens.

Logo, P Z > k = 0,15

Logo

P Z < k = 1 - P Z > k = 1 - 0,15 = 0,85

Procurando um k na tabela que satisfaça tal condição, encontraremos k = 1,04

Voltando a relação entre X   e   Z .

Com Z = k = 1,04

Teremos:

X = Z σ + μ = 3,8 1,04 + 24 = 27,952   m i n u t o s

Logo o tempo acima do qual encontramos os 15% menores tempos de viagem é 27,952   m i n u t o s .

Passo 3

Por último vamos fazer o item e)

Vamos usar uma binomial, pois ou a viagem dura pelo menos 30 minutos ou dura menos de 30 minutos.

Modelando o problema como binomial, temos: b ( 2 ; 3 ; 0,0571 )

Pois temos 3 casos sendo analisados, onde queremos dois sucessos e a probabilidade de sucesso foi calculada no item a.

Desse modo,

b 2 ; 3 ; 0,0571 = 3 2 0,0571 2 0,9429 1 = 0,0092 .

Resposta

a) P X > 30 = P Z > 1,58 = 0,0571

b) P Z > - 2,37 = 1 - P Z < - 2,37 = 1 - 0,0089 = 0,9911 ; ele estará atrasado em 99,11 % do tempo.

c) P X > 25 = P Z > 0,26 = 0,3974

d) o tempo acima do qual encontramos os 15% menores tempos de viagem é 27,952   m i n u t o s .

e) b 2 ; 3 ; 0,0571 = 0,0092 .

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