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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 115

O artigo “Three Sisters Give Birth on the Same Day” (Chance, Spring 2001, p. 23-25) usou o fato de três irmãs de Utah darem à luz em 11 de março de 1998 como base de proposta de algumas questões interessantes relativas a coincidências de nascimento.

a. Desconsiderando anos bissextos e assumindo que os outros 365 dias são igualmente prováveis, qual é a probabilidade de que três nascimentos selecionados aleatoriamente ocorram todos em 11 de março? Indique quaisquer hipóteses existentes, se houver.

b. Com as hipóteses usadas na parte (a), qual é a probabilidade de três nascimentos selecionados aleatoriamente ocorrerem no mesmo dia?

c. O autor sugeriu que, com base em extensos dados, a duração da gestação (tempo entre a concepção e o nascimento) pode ser modelada como tendo distribuição normal com valor médio 280 dias e desvio padrão 19,88 dias. As datas-limite para as três irmãs de Utah eram 15 de março, 1º de abril e 4 de abril, respectivamente. Supondo que o prazo esteja na média da distribuição, qual é a probabilidade de todos os nascimentos ocorrerem em 11 de março? (Sugestão: O desvio em relação à data de nascimento tem distribuição normal com média 0.)

d. Explique como você usaria as informações da parte (c) para calcular a probabilidade de uma data de nascimento comum.

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Enunciado gigante né?? Hahaha

Mas fique tranquilo, a resolução não irá demorar tanto. Precisamos apenas interpretar as informações da questão e usarmos a regra da multiplicação para eventos independentes. Bora lá!!!

Passo 2

Cada dia dos 365 dias do ano são igualmente prováveis, então, 11 de março também é.

A probabilidade é o número de resultados favoráveis dividido pelo número de resultados possíveis:

P M a r ç o   11 = 1 365

Usando a regra de multiplicação para eventos independentes.

P M a r ç o   11   3 x = P M a r ç o   11 × P M a r ç o   11 × P M a r ç o   11

= 1 365 3

P M a r ç o   11   3 x = 2,0565 × 10 - 8

Passo 3

Há 365 dias no ano, sendo assim, tem 365 dias possíveis para dar à luz:

P 3 x   m e s m o   d i a = 365 P ( M a r ç o   3 x )

= 365 365 3

P 3 x   m e s m o   d i a = 7,5061 × 10 - 6

Passo 4

O desvio da data de nascimento tem distribuição normal com:

μ = 0

σ = 19,88       d i a s

Dia 15 de março é 4 dias antes de 11 de março. 1 de Abril é 21 dias depois de 11 de Março. Por fim, 4 de Abril é 24 dias depois de março.

Portanto, a variável z é:

z = x - μ σ = 3,5 - 0 19,88 = 0,18

z = x - μ σ = 4 , 5 - 0 19,88 = 0 , 23

z = x - μ σ = 20,5 - 0 19,88 = 1,03

z = x - μ σ = 21,5 - 0 19,88 = 1,08

z = x - μ σ = 2 3,5 - 0 19,88 = 1 , 18

z = x - μ σ = 24 , 5 - 0 19,88 = 1 , 23

Determinando as probabilidades usando a tabela do apêndice.

P X = 4 = P 0,18 < Z < 0,23 = 0,0196

P X = 21 = P 1,03 < Z < 1,08 = 0,0114

P X = 24 = P 1,18 < Z < 1,23 = 0,0097

Usando a regra da multiplicação.

P T o d o s   a n i v e r s á r i o s   e m   11   d e   M a r ç o = 0,0196 × 0,0114 × 0,0097

= 2,1673 ∙ 10 - 6

Passo 5

Precisaríamos determinar a probabilidade de cada pessoa dar à luz em um determinado dia. Então, usaríamos a regra da multiplicação para determinar a probabilidade de que todas as pessoas deem à luz naquele dia específico. Finalmente, podemos adicionar as probabilidades para todos os possíveis dias de nascimento 'em comum', esta soma é a probabilidade de uma data de nascimento comum.

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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