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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 117

Assuma U como tendo uma distribuição uniforme no intervalo [ 0 ,   1 ] . Os valores observados com essa distribuição podem ser obtidos com um gerador de números aleatórios. Seja X = - ( 1 / λ   ) l n ( 1 - U ) .

a. Mostre que X possui uma distribuição exponencial com parâmetro. [Sugestão: a fdc de X é F x =   P X ≤ x ;   X ≤ x é equivalente a U ≤ ?]

b. Como você usaria a parte (a) e um gerador de números aleatórios para obter valores observados de uma distribuição exponencial com parâmetro λ = 10 ?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para realizarmos essa questão, iremos usar os conceitos da fdp e fdc, e manipularmos as equações algebricamente, basicamente isso. Bora lá!!!

Passo 2

É dado que U tem uma distribuição normal no intervalo [ 0 ,   1 ] , então, fdp de U pode ser escrito como:

f u u = 1                                                 0 ≤ u ≤ 1 0                             c a s o   c o n t r á r i o

E X é uma função linear de U :

X = - 1 λ ∙ ln ⁡ 1 - U

Com isso, fdc de X é dado como:

F x x = P ( X ≤ x )

= P - 1 λ ∙ ln ⁡ 1 - U ≥ x

= P ln ⁡ 1 - u ≥ - λ x

= P u ≤ 1 - e - λ x

F x x = F u 1 - e - λ x

Então, a fdp de X é definida abaixo:

f x x = d d x F x

f x x = λ ∙ e - λ x ∙ f u 1 - e - λ x

Para a parte 1 - e - λ x , as inequações abaixo são verdadeiras.

0 ≤ 1 - e - λ x ≤ 1                         p a r a   x ≥ 0

1 - e - λ x < 0                                       p a r a   x < 0

Com isso, nosso f x ( x ) é:

f x x = λ ∙ e - λ x                 x ≥ 0 0                                         x < 0

Logo, X é uma distribuição exponencial com parâmetro λ .

Passo 3

Os números aleatórios gerados a partir do gerador terão uma distribuição uniforme, pois, cada um deles tem a mesma probabilidade de ser escolhido.

A representação para uma sequência de números aleatórios e λ = 10 é dada abaixo:

x i = - 1 10 ∙ ln ⁡ 1 - u i

Logo, a sequência de números será uma função exponencial com parâmetro λ .

Resposta

  1. f x x = λ ∙ e - λ x                 x ≥ 0 0                                         x < 0

  2. x i = - 1 10 ∙ ln ⁡ 1 - u i

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