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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios Suplementares - Ex. 112

a. Suponha que a vida útil X de um componente, quando medido em horas, tenha uma distribuição gama com parâmetros α e β . Seja Y = vida útil medida em minutos. Deduza a fdp de Y . (Sugestão: Y ≤ y se e somente X ≤ y / 60 . Use isso para obter a fdc de Y e depois diferencie para obter a fdp.)

b. Se X tem distribuição gama com parâmetros α e β , qual é a distribuição probabilidade Y = c X ?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? É dado que o tempo de vida medido em horas é denotado por rv X . Outra coisa, é que X tem distribuição gama com parâmetros α e β , então o fdp de X (para z ≥ 0 ) pode ser escrito da seguinte forma.

f x x = 1 β α ∙ Γ ( α ) ∙ x α - 1 ∙ exp ⁡ - x β

Então, bora para a resolução!!!

Passo 2

O enunciado ainda nos fala que Y é uma função linear de X .

Y = 60 ∙ X

Então, podemos escrever o fdc para Y .

F y y = P ( Y ≤ y )

= P 60 X ≤ y

= P X ≤ y 60

F y y = F x y 60

Portanto, o fdp de Y é denotado por:

f y y = d d y F y y = d d y F x y 60

f y y = 1 60 f y y 60

Usando a equação que definimos no começo da resolução e a equação acima, temos:

f y y = 1 60 ∙ 1 β α ∙ Γ α ∙ y 60 α - 1 ∙ exp ⁡ - y 60 β

                                          f y y = 1 60 β α ∙ Γ ( α ) ∙ y α - 1 ∙ exp ⁡ - y 60 β                           y ≥ 0

Como, y é medido em minutos, ele tem que ser maior ou igual a zero.

Passo 3

Se Y é uma função linear tal que:

Y = c ∙ X

Se substituirmos c = 60 como no Passo 2, chegaremos a conclusão de que Y tem distribuição gama com parâmetro α e β .

Resposta

Resolução nos passos anteriores.

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