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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 5

Um professor de faculdade nunca finaliza sua aula antes do final do horário e sempre termina dentro de dois minutos após o horário. Seja X = tempo entre o fim do horário e o fim da aula e suponha que a fdp de X seja

f x = k x 2                         0 ≤ x ≤ 2 0               c a s o   c o n t r á r i o

a. Determine o valor de k . [Sugestão: a área total abaixo do gráfico de f ( x ) é 1].

b. Qual é a probabilidade de a aula terminar dentro de 1 min. do final do horário?

c. Qual é a probabilidade de a aula continuar além do horário por 60 a 90 seg?

d. Qual é a probabilidade de a aula continuar por pelo menos 90 segundos após o final do horário?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos essa questão, precisamos estar cientes que como f ( x ) é uma fdp, a condição a seguir deve ser satisfeita:

∫ - ∞ ∞ f ( x ) ∙ d x = 1

Sendo assim, bora fazer os cálculos que o enunciado pede!!!

Passo 2

Para a fdp dada, temos:

∫ - ∞ ∞ f ( x ) ∙ d x = ∫ 0 2 k x 2 ∙ d x = 1

k x 3 3 0 2 = 1

k = 3 8

Por fim, a fdp pode ser escrita como:

f x = 3 x 2 8                                       1 ≤ X ≤ 2 0                               c a s o   c o n t r á r i o

Passo 3

A probabilidade de a aula terminar dentro de 1 minuto do fim do horário é definida por P ( X < 1 )

P X < 1 = ∫ 0 1 3 x 2 8 d x

= x 3 8 0 1

P X < 1 = 0 , 125

Passo 4

A probabilidade de a aula exceder o horário por um intervalo de 60 a 90 segundos é P ( 1 < X < 1,5 )

P 1 < X < 1,5 = ∫ 1 1,5 3 x 2 8 d x

= x 3 8 1 1 , 5

P 1 < X < 1,5 = 0,2969

Passo 5

Por fim, a probabilidade de a aula exceder pelo menos 90 segundos é P ( X ≥ 1,5 )

P X ≥ 1,5 = ∫ 1,5 2 3 x 2 8 d x

= x 3 8 1 , 5 2

P X ≥ 1,5 = 0,5781

Resposta

  1. k = 3 8

  2. P X < 1 = 0,125

  3. P 1 < X < 1,5 = 0,2969

  4. P X ≥ 1,5 = 0,5781

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