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Enunciado

Probabilidade e Estatística - Jay Devore, Probabilidade e estatística para engenharia e ciências- Ed: 6º - Capítulo 4.Exercícios - Ex. 6

O peso de tração real de um cartucho de som que está ajustado para rodas com 3g em um certo aparelho pode ser considerado uma va contínua X com fdp

f x = k [ 1 - x - 3 2 ]                               2 ≤ x ≤ 4 0                                                                 c a s o   c o n t r á r i o

a. Faça o gráfico de f ( x ) .

b. Determine o valor de k .

c. Qual é a probabilidade de o peso real de tração ser maior do que o nominal?

d. Qual é a probabilidade de o peso real estar dentro de 0,25g de distância em relação ao nominal?

e. Qual é a probabilidade de o peso real diferir do nominal em mais de 0,5g?

Passo 1

Falaaa, meu querido/minha querida. Como vai?? Para resolvermos essa questão, precisamos estar cientes que como f ( x ) é uma fdp, a condição a seguir deve ser satisfeita:

∫ - ∞ ∞ f ( x ) ∙ d x = 1

Sendo assim, bora fazer os cálculos que o enunciado pede!!!

Passo 2

O gráfico de f ( x ) pode ser analisado abaixo. As raízes da função permanecem a mesma, x = 2 e x = 4 , porém a altura irá variar conforme k varia.

Passo 3

Para a dada fdp, temos:

∫ - ∞ ∞ f ( x ) d x = ∫ 2 4 k ( 1 - x - 3 2 ) d x = 1

k ∫ 2 4 ( 1 - x 2 + 6 x - 9 ) d x = 1

k ∙ 4 3 = 1

k = 3 4

Logo, a fdp pode ser escrita da seguinte forma:

f x = 3 4 1 - x - 3 2                       2 ≤ X ≤ 4 0                                                           c a s o   c o n t r á r i o

Passo 4

A probabilidade de que o peso real de rastreamento seja maior que o peso prescrito é P ( X > 3 ) , já que o peso é 3g.

P X > 3 = ∫ 3 4 3 4 1 - x - 3 2 d x

= 3 4 4 - 4 - 3 3 3 - 3 - 3 - 3 3 3

P X > 3 = 1 2

Passo 5

Agora, a probabilidade de que o peso real esteja dentro de 0,25g do peso prescrito é P ( 2,75 < X < 3,25 ) .

P 2,75 < X < 3,25 = ∫ 2,75 3,25 3 4 ( 1 - x - 3 2 ) d x

= 3 4 3,25 - 0,25 3 3 - 2,75 - 0,25 3 3

P 2,75 < X < 3,25 = 0,3672

Passo 6

Por fim, a probabilidade de que o peso real diferir em mais de 0,5 g do peso prescrito é P ( X < 2,5   o u   X > 3,5 ) , que pode ser rescrita como:

P X < 2,5   o u   X > 3,5 = 1 - P ( 2 , 5 ≤ X ≤ 3,5 )

Calculando a probabilidade.

P X > 3,5 = 1 - ∫ 2,5 3,5 3 4 1 - x - 3 2 d x

= 1 - 3 4 3,5 - 3,5 - 3 3 3 - 2,5 - 2,5 - 3 3 3

P X > 3,5 = 0,3125

Resposta

  1. Gráfico no passo 2.

  2. k = 3 / 4 .

  3. P X > 3 = 1 / 2 .

  4. P 2,75 < X < 3,25 = 0,3672 .

  5. P X > 3,5 = 0,3125 .

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